Номер 621, страница 158 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

621. Точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон ВС, АС и AB треугольника ABC, точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что

Для доказательства данного равенства воспользуемся свойством радиус-вектора середины отрезка. Если точка $M$ является серединой отрезка $PQ$, а $O$ — произвольная точка пространства, то радиус-вектор точки $M$, проведенный из точки $O$, можно выразить через радиус-векторы точек $P$ и $Q$ следующим образом: $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ})$.

По условию задачи, точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются серединами сторон $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Применим указанное выше свойство для каждой из этих точек, выбрав точку $O$ в качестве начала отсчета радиус-векторов.

1. Для точки $A_1$, середины стороны $BC$, имеем:
$\vec{OA_1} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})$

2. Для точки $B_1$, середины стороны $AC$, имеем:
$\vec{OB_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

3. Для точки $C_1$, середины стороны $AB$, имеем:
$\vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Теперь рассмотрим левую часть равенства, которое необходимо доказать, и подставим в нее полученные выражения:

$\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \frac{1}{2}\vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = (\frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OA}) + (\frac{1}{2}\vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{OB}) + (\frac{1}{2}\vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{OC})$

$\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = (2 \cdot \frac{1}{2}\vec{OA}) + (2 \cdot \frac{1}{2}\vec{OB}) + (2 \cdot \frac{1}{2}\vec{OC})$

В результате получаем:

$\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

Мы получили, что левая часть исходного равенства равна его правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Равенство $\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ является верным для любого треугольника $ABC$ и произвольной точки пространства $O$.