Номер 620, страница 158 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

620. Числа k и l не равны друг другу. Докажите, что если векторы a + kb и a + lb не коллинеарны, то: а) векторы a и b не коллинеарны; б) векторы a + k₁b и a + l₁b не коллинеарны при любых неравных числах k₁ и l₁.

Дано: числа $k$ и $l$ таковы, что $k \neq l$. Векторы $\vec{c} = \vec{a} + k\vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} + l\vec{b}$ не коллинеарны. Это означает, что не существует такого числа $\lambda$, для которого выполнялось бы равенство $\vec{c} = \lambda\vec{d}$.

а) векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны;

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. По определению коллинеарных векторов, это означает, что существует такое число $\mu$, что $\vec{a} = \mu\vec{b}$. (Здесь мы считаем, что $\vec{b} \neq \vec{0}$, так как в противном случае $\vec{c} = \vec{a}$ и $\vec{d} = \vec{a}$, и они были бы коллинеарны, что противоречит условию задачи).

Теперь подставим выражение $\vec{a} = \mu\vec{b}$ в определения векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:

$\vec{c} = \vec{a} + k\vec{b} = \mu\vec{b} + k\vec{b} = (\mu + k)\vec{b}$

$\vec{d} = \vec{a} + l\vec{b} = \mu\vec{b} + l\vec{b} = (\mu + l)\vec{b}$

Из полученных равенств следует, что оба вектора, $\vec{c}$ и $\vec{d}$, пропорциональны вектору $\vec{b}$. Это означает, что векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ коллинеарны между собой, так как они оба коллинеарны одному и тому же вектору $\vec{b}$.

Однако, это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что векторы $\vec{a} + k\vec{b}$ и $\vec{a} + l\vec{b}$ не коллинеарны. Следовательно, наше исходное предположение о коллинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ было неверным.

Ответ: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны.

б) векторы $\vec{a} + k_1\vec{b}$ и $\vec{a} + l_1\vec{b}$ не коллинеарны при любых неравных числах $k_1$ и $l_1$.

В пункте (а) мы установили, что из условия задачи следует неколлинеарность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Теперь докажем, что это свойство влечет за собой неколлинеарность векторов $\vec{a} + k_1\vec{b}$ и $\vec{a} + l_1\vec{b}$ для любых $k_1 \neq l_1$.

Снова воспользуемся методом от противного. Предположим, что для некоторой пары неравных чисел $k_1$ и $l_1$ ($k_1 \neq l_1$) векторы $\vec{c}_1 = \vec{a} + k_1\vec{b}$ и $\vec{d}_1 = \vec{a} + l_1\vec{b}$ являются коллинеарными.

Если они коллинеарны, то существует такое число $\lambda$, что $\vec{c}_1 = \lambda\vec{d}_1$. (Вектор $\vec{d}_1$ не может быть нулевым, так как это означало бы $\vec{a} = -l_1\vec{b}$, то есть коллинеарность $\vec{a}$ и $\vec{b}$, что, как мы доказали в пункте (а), неверно).

Запишем это равенство в развернутом виде:

$\vec{a} + k_1\vec{b} = \lambda(\vec{a} + l_1\vec{b})$

Выполним преобразования, чтобы сгруппировать слагаемые с $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} + k_1\vec{b} = \lambda\vec{a} + \lambda l_1\vec{b}$

$\vec{a} - \lambda\vec{a} = \lambda l_1\vec{b} - k_1\vec{b}$

$(1 - \lambda)\vec{a} = (\lambda l_1 - k_1)\vec{b}$

Мы знаем, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Это означает, что они линейно независимы. Равенство вида $x\vec{a} + y\vec{b} = \vec{0}$ (в нашем случае $x\vec{a} - y\vec{b} = \vec{0}$) для линейно независимых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ возможно только тогда, когда скалярные коэффициенты при них равны нулю.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$1 - \lambda = 0$

$\lambda l_1 - k_1 = 0$

Из первого уравнения следует, что $\lambda = 1$. Подставим это значение во второе уравнение:

$1 \cdot l_1 - k_1 = 0$

$l_1 = k_1$

Это равенство противоречит условию, что числа $k_1$ и $l_1$ не равны друг другу. Следовательно, наше предположение о том, что векторы $\vec{a} + k_1\vec{b}$ и $\vec{a} + l_1\vec{b}$ могут быть коллинеарны, было ошибочным.

Ответ: Векторы $\vec{a} + k_1\vec{b}$ и $\vec{a} + l_1\vec{b}$ не коллинеарны при любых неравных числах $k_1$ и $l_1$.