Номер 625, страница 158 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

625. Докажите, что векторы p, a и b компланарны, если: а) один из данных векторов нулевой; б) два из данных векторов коллинеарны .

Три вектора называются компланарными, если они, будучи отложенными от одной точки, лежат в одной плоскости. Эквивалентное алгебраическое определение гласит, что векторы $\vec{p}$, $\vec{a}$ и $\vec{b}$ компланарны, если один из них можно представить в виде линейной комбинации двух других. То есть существуют такие числа $x$ и $y$, что, например, выполняется равенство $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$. Воспользуемся этим определением для доказательства.

а) один из данных векторов нулевой

Пусть, для определенности, вектор $\vec{p}$ является нулевым, то есть $\vec{p} = \vec{0}$. Нам необходимо доказать, что его можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Рассмотрим равенство $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$. Подставив $\vec{p} = \vec{0}$, получим:

Данное равенство будет истинным, если выбрать коэффициенты $x=0$ и $y=0$:

Это верное равенство, так как $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ и $0 \cdot \vec{b} = \vec{0}$, а сумма двух нулевых векторов есть нулевой вектор. Таким образом, мы представили вектор $\vec{p}$ в виде линейной комбинации векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Следовательно, по определению, векторы $\vec{p}$, $\vec{a}$ и $\vec{b}$ компланарны. Доказательство будет аналогичным, если нулевым является вектор $\vec{a}$ или $\vec{b}$.

Ответ: Доказано, что если один из векторов нулевой, то три вектора компланарны.

б) два из данных векторов коллинеарны

Пусть, для определенности, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. По определению коллинеарности, существует такое число $k$, что один вектор можно выразить через другой: $\vec{a} = k\vec{b}$. (Если $\vec{b} = \vec{0}$, то этот случай сводится к пункту а), который уже доказан, поэтому можно считать, что $\vec{b} \ne \vec{0}$). Нам необходимо показать, что один из трех векторов можно выразить через два других. Выразим вектор $\vec{a}$ через векторы $\vec{p}$ и $\vec{b}$. Равенство $\vec{a} = k\vec{b}$ можно записать в виде:

Это равенство представляет собой линейную комбинацию, выражающую вектор $\vec{a}$ через векторы $\vec{p}$ и $\vec{b}$ с коэффициентами $x=0$ и $y=k$. Поскольку один из векторов ($\vec{a}$) представлен в виде линейной комбинации двух других ($\vec{p}$ и $\vec{b}$), то по определению векторы $\vec{p}$, $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются компланарными.

Ответ: Доказано, что если два из векторов коллинеарны, то три вектора компланарны.