Номер 624, страница 158 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

624. Три точки М, N и Р лежат на одной прямой, а точка О не лежит на этой прямой. Выразите вектор OP через векторы OM и ON, если:

где k — данное число.

Для решения данной задачи мы будем использовать правило разности векторов и правило треугольника для сложения векторов. Любой вектор $\vec{AB}$ можно выразить через векторы, проведенные из произвольной точки $O$, по формуле $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$. Мы будем использовать эту формулу, чтобы выразить векторы, соединяющие точки $M$, $N$ и $P$, через заданные векторы $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$.

а) По условию нам дано равенство $\vec{NP} = 2\vec{MN}$. Чтобы выразить вектор $\vec{OP}$, воспользуемся правилом треугольника для векторов: $\vec{OP} = \vec{ON} + \vec{NP}$. Подставим в это равенство данное по условию соотношение: $\vec{OP} = \vec{ON} + 2\vec{MN}$. Теперь выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$: $\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}$. Подставим полученное выражение для $\vec{MN}$ в формулу для $\vec{OP}$: $\vec{OP} = \vec{ON} + 2(\vec{ON} - \vec{OM})$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $\vec{OP} = \vec{ON} + 2\vec{ON} - 2\vec{OM} = 3\vec{ON} - 2\vec{OM}$.
Ответ: $\vec{OP} = 3\vec{ON} - 2\vec{OM}$.

б) По условию нам дано равенство $\vec{MP} = -\frac{1}{2}\vec{PN}$. Выразим векторы $\vec{MP}$ и $\vec{PN}$ через векторы, исходящие из точки $O$: $\vec{MP} = \vec{OP} - \vec{OM}$ $\vec{PN} = \vec{ON} - \vec{OP}$ Подставим эти выражения в исходное равенство: $\vec{OP} - \vec{OM} = -\frac{1}{2}(\vec{ON} - \vec{OP})$. Теперь нам нужно решить это уравнение относительно вектора $\vec{OP}$. Раскроем скобки: $\vec{OP} - \vec{OM} = -\frac{1}{2}\vec{ON} + \frac{1}{2}\vec{OP}$. Соберем все слагаемые с $\vec{OP}$ в левой части, а остальные - в правой: $\vec{OP} - \frac{1}{2}\vec{OP} = \vec{OM} - \frac{1}{2}\vec{ON}$. $\frac{1}{2}\vec{OP} = \vec{OM} - \frac{1}{2}\vec{ON}$. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\vec{OP}$: $\vec{OP} = 2\vec{OM} - \vec{ON}$.
Ответ: $\vec{OP} = 2\vec{OM} - \vec{ON}$.

в) По условию нам дано равенство $\vec{MP} = k \cdot \vec{MN}$, где $k$ – данное число. Для выражения $\vec{OP}$ воспользуемся правилом треугольника: $\vec{OP} = \vec{OM} + \vec{MP}$. Подставим в это равенство данное условие: $\vec{OP} = \vec{OM} + k \cdot \vec{MN}$. Теперь выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$: $\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}$. Подставим это выражение в нашу формулу для $\vec{OP}$: $\vec{OP} = \vec{OM} + k(\vec{ON} - \vec{OM})$. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$: $\vec{OP} = \vec{OM} + k\vec{ON} - k\vec{OM} = (1-k)\vec{OM} + k\vec{ON}$.
Ответ: $\vec{OP} = (1-k)\vec{OM} + k\vec{ON}$.