Страница 153 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

592. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Какие из следующих трёх векторов компланарны:

Для определения компланарности трёх векторов необходимо проверить, можно ли их расположить в одной плоскости. Три вектора компланарны, если они линейно зависимы, то есть один из них можно выразить через два других, или если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору. В контексте параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ мы будем использовать его свойства: равенство и параллельность противоположных рёбер.

Рассмотрим векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{BB_1}$.
В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и равны по длине. Следовательно, векторы, лежащие на этих рёбрах, равны между собой: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.
Поскольку все три вектора равны, они коллинеарны (параллельны одной прямой). Любые коллинеарные векторы всегда компланарны, так как если отложить их от одной точки, они лягут на одну прямую, а через любую прямую можно провести плоскость.
Ответ: векторы компланарны.

Рассмотрим векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.
Эти три вектора исходят из одной вершины A и направлены вдоль трёх рёбер параллелепипеда. В общем случае (для невырожденного параллелепипеда) эти три ребра не лежат в одной плоскости. Векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$ являются базисными для трёхмерного пространства. Три вектора, образующие базис, по определению не могут быть компланарными (они линейно независимы).
Ответ: векторы не компланарны.

Рассмотрим векторы $\vec{B_1B}$, $\vec{AC}$ и $\vec{DD_1}$.
Выразим эти векторы через базисные векторы, исходящие из вершины A. Пусть $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$.
1. Вектор $\vec{B_1B}$ противоположен вектору $\vec{BB_1}$. Так как $\vec{BB_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$, то $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{c}$.
2. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания и по правилу параллелограмма равен сумме векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.
3. Вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$, так как это параллельные рёбра: $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.
Проверим векторы на линейную зависимость. Векторы компланарны, если существуют такие числа $k_1, k_2, k_3$, не все равные нулю, что $k_1\vec{B_1B} + k_2\vec{AC} + k_3\vec{DD_1} = \vec{0}$.
Заметим, что $\vec{B_1B} + \vec{DD_1} = -\vec{c} + \vec{c} = \vec{0}$.
Следовательно, мы можем взять $k_1 = 1$, $k_2 = 0$ и $k_3 = 1$. Эта комбинация $1 \cdot \vec{B_1B} + 0 \cdot \vec{AC} + 1 \cdot \vec{DD_1} = \vec{0}$ является нетривиальной (не все коэффициенты равны нулю). Значит, векторы линейно зависимы и, следовательно, компланарны.
Ответ: векторы компланарны.

Рассмотрим векторы $\vec{AD}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{A_1B_1}$.
Приведём эти векторы к общему началу A, используя свойства параллелепипеда:
1. Вектор $\vec{AD}$ уже исходит из точки A.
2. Вектор $\vec{CC_1}$ равен вектору бокового ребра $\vec{AA_1}$: $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$.
3. Вектор $\vec{A_1B_1}$ равен вектору ребра основания $\vec{AB}$: $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$.
Таким образом, данный набор векторов $\{\vec{AD}, \vec{CC_1}, \vec{A_1B_1}\}$ эквивалентен набору $\{\vec{AD}, \vec{AA_1}, \vec{AB}\}$. Этот набор векторов, с точностью до перестановки, совпадает с набором из пункта б). Как мы уже установили, эти векторы не являются компланарными.
Ответ: векторы не компланарны.

593. Точки E и F — середины рёбер АС и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE = BA + DC. Компланарны ли векторы FE, BA и DC?

Докажите, что $2\vec{FE} = \vec{BA} + \vec{DC}$

Для доказательства введём радиус-векторы вершин тетраэдра $A, B, C, D$ относительно некоторого произвольного начала координат $O$. Обозначим их соответственно как $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OD}$.

По условию, точка $E$ является серединой ребра $AC$. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Таким образом, радиус-вектор точки $E$ равен:
$\vec{OE} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

Аналогично, точка $F$ является серединой ребра $BD$. Её радиус-вектор равен:
$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$

Теперь выразим вектор $\vec{FE}$ через радиус-векторы его начала (точки $F$) и конца (точки $E$):
$\vec{FE} = \vec{OE} - \vec{OF}$
Подставим выражения для $\vec{OE}$ и $\vec{OF}$:
$\vec{FE} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) - \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$
$\vec{FE} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC} - \vec{OB} - \vec{OD})$

Умножим обе части равенства на 2:
$2\vec{FE} = \vec{OA} + \vec{OC} - \vec{OB} - \vec{OD}$
Сгруппируем слагаемые:
$2\vec{FE} = (\vec{OA} - \vec{OB}) + (\vec{OC} - \vec{OD})$

Рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $\vec{BA} + \vec{DC}$. Выразим эти векторы через радиус-векторы их концов и начал:
$\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB}$
$\vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD}$
Следовательно, их сумма равна:
$\vec{BA} + \vec{DC} = (\vec{OA} - \vec{OB}) + (\vec{OC} - \vec{OD})$

Сравнивая выражения для $2\vec{FE}$ и $\vec{BA} + \vec{DC}$, мы видим, что они идентичны. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $2\vec{FE} = \vec{BA} + \vec{DC}$ доказано, что и требовалось.

Компланарны ли векторы $\vec{FE}, \vec{BA}$ и $\vec{DC}$?

Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости. Алгебраически это означает, что один из векторов можно выразить в виде линейной комбинации двух других. То есть, для векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ должны существовать такие числа $k$ и $m$, что $\vec{c} = k\vec{a} + m\vec{b}$.

В предыдущем пункте мы доказали равенство:
$2\vec{FE} = \vec{BA} + \vec{DC}$

Разделим обе части этого равенства на 2, чтобы выразить вектор $\vec{FE}$:
$\vec{FE} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{DC})$
$\vec{FE} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{DC}$

Это равенство показывает, что вектор $\vec{FE}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{BA}$ и $\vec{DC}$ с коэффициентами $k = \frac{1}{2}$ и $m = \frac{1}{2}$.
Согласно определению, это означает, что векторы $\vec{FE}, \vec{BA}$ и $\vec{DC}$ являются компланарными.

Ответ: Да, векторы $\vec{FE}, \vec{BA}$ и $\vec{DC}$ компланарны.

594. Даны параллелограммы ABCD и AB₁C₁D₁. Докажите, что векторы BB₁, CC₁ и DD₁ компланарны.

Для доказательства компланарности трех векторов достаточно показать, что один из них можно представить в виде линейной комбинации двух других. Воспользуемся векторным методом.

Введем обозначения векторов, выходящих из общей вершины A:

$\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{d} = \vec{AD}$

$\vec{a_1} = \vec{AB_1}$, $\vec{d_1} = \vec{AD_1}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, по правилу параллелограмма для векторов имеем:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{d}$

Аналогично, так как $AB_1C_1D_1$ — параллелограмм:

$\vec{AC_1} = \vec{AB_1} + \vec{AD_1} = \vec{a_1} + \vec{d_1}$

Теперь выразим векторы $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{DD_1}$ через введенные нами векторы, используя правило разности векторов (правило треугольника):

$\vec{BB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AB} = \vec{a_1} - \vec{a}$

$\vec{DD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AD} = \vec{d_1} - \vec{d}$

$\vec{CC_1} = \vec{AC_1} - \vec{AC} = (\vec{a_1} + \vec{d_1}) - (\vec{a} + \vec{d})$

Раскроем скобки в выражении для $\vec{CC_1}$ и перегруппируем слагаемые:

$\vec{CC_1} = \vec{a_1} + \vec{d_1} - \vec{a} - \vec{d} = (\vec{a_1} - \vec{a}) + (\vec{d_1} - \vec{d})$

Подставим в это равенство полученные ранее выражения для $\vec{BB_1}$ и $\vec{DD_1}$:

$\vec{CC_1} = \vec{BB_1} + \vec{DD_1}$

Мы получили, что вектор $\vec{CC_1}$ является суммой векторов $\vec{BB_1}$ и $\vec{DD_1}$, то есть он выражается через них в виде линейной комбинации с коэффициентами, равными 1. Согласно определению компланарности, если один из трех векторов можно выразить как линейную комбинацию двух других, то эти три вектора компланарны (лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях).

Таким образом, векторы $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{DD_1}$ компланарны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что векторы компланарны, так как выполняется векторное равенство $\vec{CC_1} = \vec{BB_1} + \vec{DD_1}$.