Страница 150 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

586. Три точки А, В и М удовлетворяют условию AM = λ ⋅ MB, где λ ≠ − 1. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для любой точки О пространства выполняется равенство OM = OA + λ ⋅ OB1 + λ.

Решение

Из равенства AM = λ ⋅ MB следует, что векторы AM и MB коллинеарны, поэтому прямые AM и MB либо параллельны, либо совпадают. Так как эти прямые имеют общую точку М, то они совпадают , и, следовательно, точки А, B и М лежат на одной прямой. Поскольку AM = OM − OA, MB = OB − OM, то из равенства AM = λ ⋅ MB имеем OM − OA = λ (OB − OM), или (1 + λ) OM = OA + λ ⋅ OB. Отсюда, разделив на 1 + λ, получаем искомое равенство.

Доказательство того, что точки А, В и М лежат на одной прямой

По условию задачи дано векторное равенство $\vec{AM} = \lambda \cdot \vec{MB}$. Из определения коллинеарности векторов следует, что если один вектор можно представить как другой, умноженный на скаляр (число), то эти векторы коллинеарны. В нашем случае это означает, что векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ коллинеарны.

Коллинеарные векторы лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Вектор $\vec{AM}$ определяется точками A и M и, следовательно, лежит на прямой AM. Вектор $\vec{MB}$ определяется точками M и B и лежит на прямой MB. Поскольку векторы коллинеарны, прямые AM и MB либо параллельны, либо совпадают. Однако у этих прямых есть общая точка M. Две различные параллельные прямые не могут иметь общих точек. Следовательно, прямые AM и MB должны совпадать. Это означает, что все три точки A, B и M лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Точки A, B и M лежат на одной прямой.

Доказательство равенства $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \lambda \cdot \vec{OB}}{1 + \lambda}$

Возьмем произвольную точку O в пространстве в качестве начала отсчета. Тогда любой вектор, например $\vec{XY}$, можно выразить через радиус-векторы его конца и начала: $\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}$. Применим это правило к векторам $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$:

$\vec{AM} = \vec{OM} - \vec{OA}$

$\vec{MB} = \vec{OB} - \vec{OM}$

Теперь подставим эти выражения в исходное условие $\vec{AM} = \lambda \cdot \vec{MB}$:

$\vec{OM} - \vec{OA} = \lambda (\vec{OB} - \vec{OM})$

Раскроем скобки в правой части уравнения, чтобы выделить вектор $\vec{OM}$:

$\vec{OM} - \vec{OA} = \lambda \cdot \vec{OB} - \lambda \cdot \vec{OM}$

Перенесем все члены, содержащие $\vec{OM}$, в левую часть равенства, а все остальные — в правую:

$\vec{OM} + \lambda \cdot \vec{OM} = \vec{OA} + \lambda \cdot \vec{OB}$

Вынесем общий множитель $\vec{OM}$ за скобки в левой части:

$(1 + \lambda)\vec{OM} = \vec{OA} + \lambda \cdot \vec{OB}$

Согласно условию задачи, $\lambda \neq -1$, что означает $1 + \lambda \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части равенства на ненулевой скаляр $(1 + \lambda)$:

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \lambda \cdot \vec{OB}}{1 + \lambda}$

Это и есть искомое равенство.

Ответ: Для любой точки O пространства выполняется равенство $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \lambda \cdot \vec{OB}}{1 + \lambda}$.

587. Известно, что p = a + b + c, причём векторы a, b, и с попарно не сонаправлены. Докажите, что | p | = | a | + | b | + | c |.

Данную задачу в предложенной формулировке доказать невозможно, так как утверждение, которое требуется доказать, находится в прямом противоречии с исходным условием. Проведем детальный анализ, чтобы продемонстрировать это противоречие.

Утверждение, которое необходимо доказать: $|\vec{p}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$, при условии, что $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Это равенство представляет собой крайний случай так называемого неравенства треугольника (или неравенства многоугольника), которое для трех векторов в общем виде выглядит как $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$. Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ сонаправлены (т.е. направлены в одну и ту же сторону).

Докажем это строго. Для этого возведем обе части доказываемого равенства в квадрат. Модули векторов неотрицательны, поэтому такое преобразование является эквивалентным.

Квадрат левой части равенства:
$|\vec{p}|^2 = |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2$
Используя свойство скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора ($|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$), получаем:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$
Раскрывая скобки, получаем:
$|\vec{p}|^2 = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b} + \vec{c}\cdot\vec{c} + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{a}\cdot\vec{c} + 2\vec{b}\cdot\vec{c}$
Вспоминая, что скалярное произведение векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ равно $|\vec{x}||\vec{y}|\cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между ними, перепишем выражение:
$|\vec{p}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) + 2|\vec{a}||\vec{c}|\cos(\widehat{\vec{a},\vec{c}}) + 2|\vec{b}||\vec{c}|\cos(\widehat{\vec{b},\vec{c}})$

Квадрат правой части равенства:
$(|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|)^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + 2|\vec{a}||\vec{c}| + 2|\vec{b}||\vec{c}|$

Теперь приравняем выражения для квадратов левой и правой частей:
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) + \dots) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| + \dots)$
После вычитания одинаковых слагаемых из обеих частей, получим:
$|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) + |\vec{a}||\vec{c}|\cos(\widehat{\vec{a},\vec{c}}) + |\vec{b}||\vec{c}|\cos(\widehat{\vec{b},\vec{c}}) = |\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{a}||\vec{c}| + |\vec{b}||\vec{c}|$
Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем:
$|\vec{a}||\vec{b}|(1 - \cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}})) + |\vec{a}||\vec{c}|(1 - \cos(\widehat{\vec{a},\vec{c}})) + |\vec{b}||\vec{c}|(1 - \cos(\widehat{\vec{b},\vec{c}})) = 0$

Проанализируем полученное уравнение. Предположим, что векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не являются нулевыми (в противном случае условие "не сонаправлены" становится некорректным). Тогда их модули $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ и $|\vec{c}|$ — строго положительные числа.
Для любого угла $\theta$ значение его косинуса $\cos(\theta)$ находится в диапазоне $[-1, 1]$. Следовательно, выражение $1 - \cos(\theta)$ всегда неотрицательно ($1 - \cos(\theta) \ge 0$).
Таким образом, каждое из трех слагаемых в левой части уравнения является произведением неотрицательных чисел и, следовательно, само по себе неотрицательно.
Сумма нескольких неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых равно нулю. Это приводит к системе из трех условий:
1. $|\vec{a}||\vec{b}|(1 - \cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}})) = 0 \implies 1 - \cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) = 0 \implies \cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) = 1$. Это значит, что угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 0, то есть они сонаправлены.
2. $|\vec{a}||\vec{c}|(1 - \cos(\widehat{\vec{a},\vec{c}})) = 0 \implies 1 - \cos(\widehat{\vec{a},\vec{c}}) = 0 \implies \cos(\widehat{\vec{a},\vec{c}}) = 1$. Это значит, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ сонаправлены.
3. $|\vec{b}||\vec{c}|(1 - \cos(\widehat{\vec{b},\vec{c}})) = 0 \implies 1 - \cos(\widehat{\vec{b},\vec{c}}) = 0 \implies \cos(\widehat{\vec{b},\vec{c}}) = 1$. Это значит, что векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ сонаправлены.

Из этого следует, что равенство $|\vec{p}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$ может выполняться только в том случае, если все три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ сонаправлены друг с другом.

Однако в условии задачи дано, что "векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ попарно не сонаправлены". Это условие прямо противоречит необходимому условию для выполнения доказываемого равенства.

Вывод: Утверждение задачи неверно, так как оно требует, чтобы векторы были сонаправлены, в то время как условие задачи это запрещает. Вероятнее всего, в формулировке задачи содержится опечатка (например, частица "не" является лишней).

Ответ: Доказать утверждение невозможно, так как оно неверно при заданных условиях. Равенство $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$ справедливо только тогда, когда векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ сонаправлены. Условие же задачи гласит, что они попарно не сонаправлены, что создает неразрешимое противоречие.

588. Векторы b и c, а также b и c коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы:

По условию задачи, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$, а также векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны. Коллинеарность векторов означает, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Математически это выражается так: если два вектора $\vec{x}$ и $\vec{y}$ коллинеарны (и $\vec{y} \neq \vec{0}$), то существует такое действительное число (скаляр) $k$, что $\vec{x} = k \vec{y}$.

Исходя из условия, мы можем записать:

1. $\vec{a}$ коллинеарен $\vec{c}$, следовательно, существует скаляр $k_1$ такой, что $\vec{a} = k_1 \vec{c}$.

2. $\vec{b}$ коллинеарен $\vec{c}$, следовательно, существует скаляр $k_2$ такой, что $\vec{b} = k_2 \vec{c}$.

Теперь докажем коллинеарность для каждой пары векторов, показав, что результирующий вектор можно представить в виде произведения некоторого скаляра на вектор $\vec{c}$.

Рассмотрим векторную сумму $\vec{a} + \vec{b}$. Подставим в это выражение известные нам соотношения для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = k_1 \vec{c} + k_2 \vec{c}$

Используя дистрибутивный закон для векторов, вынесем общий векторный множитель $\vec{c}$ за скобки:

$\vec{a} + \vec{b} = (k_1 + k_2) \vec{c}$

Так как $k_1$ и $k_2$ являются числами (скалярами), их сумма $k_1 + k_2$ также является числом. Обозначим $k = k_1 + k_2$. Тогда мы получаем равенство $\vec{a} + \vec{b} = k \vec{c}$, которое по определению означает, что вектор $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$.

Ответ: Доказано.

Рассмотрим векторную разность $\vec{a} - \vec{b}$. Аналогично предыдущему пункту, подставим выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = k_1 \vec{c} - k_2 \vec{c}$

Вынесем вектор $\vec{c}$ за скобки:

$\vec{a} - \vec{b} = (k_1 - k_2) \vec{c}$

Разность скаляров $k_1 - k_2$ также является скаляром. Обозначим его как $k = k_1 - k_2$. Полученное равенство $\vec{a} - \vec{b} = k \vec{c}$ доказывает, что вектор $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$.

Ответ: Доказано.

Рассмотрим линейную комбинацию векторов $\vec{a} + 3\vec{b}$. Подставим выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} + 3\vec{b} = k_1 \vec{c} + 3(k_2 \vec{c})$

Упростим выражение и вынесем вектор $\vec{c}$ за скобки:

$\vec{a} + 3\vec{b} = k_1 \vec{c} + (3k_2)\vec{c} = (k_1 + 3k_2) \vec{c}$

Выражение в скобках $k_1 + 3k_2$ является скаляром. Обозначив его как $k = k_1 + 3k_2$, мы приходим к равенству $\vec{a} + 3\vec{b} = k \vec{c}$. Это доказывает коллинеарность вектора $\vec{a} + 3\vec{b}$ и вектора $\vec{c}$.

Ответ: Доказано.

Рассмотрим линейную комбинацию векторов $-\vec{a} + 2\vec{b}$. Подставим выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$-\vec{a} + 2\vec{b} = -(k_1 \vec{c}) + 2(k_2 \vec{c})$

Упростим и вынесем вектор $\vec{c}$ за скобки:

$-\vec{a} + 2\vec{b} = -k_1 \vec{c} + (2k_2)\vec{c} = (-k_1 + 2k_2) \vec{c}$

Выражение в скобках $-k_1 + 2k_2$ является скаляром. Обозначив его как $k = -k_1 + 2k_2$, получаем равенство $-\vec{a} + 2\vec{b} = k \vec{c}$. Следовательно, вектор $-\vec{a} + 2\vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$.

Ответ: Доказано.

589. Векторы a + b и a − b коллинеарны. Докажите, что векторы a и b коллинеарны.

Доказательство

Пусть даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. По условию задачи, векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ являются коллинеарными. Нам нужно доказать, что из этого следует коллинеарность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

По определению, два вектора коллинеарны, если существует такое число (скаляр) $k$, что один вектор равен другому, умноженному на этот скаляр. Таким образом, из условия коллинеарности векторов $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ следует, что существует такое число $k$, что:

$\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$

Рассмотрим два основных случая.

Случай 1: Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ является нулевым вектором.

Если $\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$, то это означает, что $\vec{a} = \vec{b}$. В этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, а следовательно, коллинеарны. Условие задачи при этом выполняется, так как любой вектор (в данном случае $\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{a}$) коллинеарен нулевому вектору.

Случай 2: Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ не является нулевым вектором.

В этом случае мы можем работать с равенством $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$. Раскроем скобки и преобразуем выражение, чтобы выразить один вектор через другой.

$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{b} + k\vec{b} = k\vec{a} - \vec{a}$

$(1 + k)\vec{b} = (k - 1)\vec{a}$

Теперь рассмотрим два подслучая в зависимости от значения $k$.

Подслучай 2а: $k = 1$.

Если $k = 1$, наше первоначальное равенство $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$ превращается в $\vec{a} + \vec{b} = \vec{a} - \vec{b}$.

Вычитая из обеих частей $\vec{a}$, получаем $\vec{b} = -\vec{b}$, что равносильно $2\vec{b} = \vec{0}$.

Отсюда следует, что $\vec{b} = \vec{0}$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору $\vec{a}$, поэтому в этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Подслучай 2б: $k \neq 1$.

Если $k \neq 1$, то множитель $(k - 1)$ не равен нулю. Значит, мы можем разделить обе части равенства $(1 + k)\vec{b} = (k - 1)\vec{a}$ на $(k - 1)$:

$\vec{a} = \frac{1+k}{k-1}\vec{b}$

Обозначим скаляр $m = \frac{1+k}{k-1}$. Тогда мы получаем равенство $\vec{a} = m\vec{b}$.

Это равенство по определению означает, что вектор $\vec{a}$ можно получить умножением вектора $\vec{b}$ на число $m$. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них было показано, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

590. Векторы a + 2b и a − 3b коллинеарны. Докажите, что векторы a и b коллинеарны.

По условию задачи векторы $\vec{a} + 2\vec{b}$ и $\vec{a} - 3\vec{b}$ коллинеарны.

Согласно определению, два ненулевых вектора коллинеарны, если существует такое число $k$, что один вектор можно выразить через другой: $\vec{u} = k\vec{v}$. Также, нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Из условия коллинеарности векторов $\vec{a} + 2\vec{b}$ и $\vec{a} - 3\vec{b}$ следует, что существует такое действительное число $k$, для которого выполняется равенство:

$\vec{a} + 2\vec{b} = k(\vec{a} - 3\vec{b})$

Докажем, что из этого следует коллинеарность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть, что существует такое число $m$, что $\vec{a} = m\vec{b}$ (или $\vec{b} = \vec{0}$).

Преобразуем полученное равенство. Раскроем скобки:

$\vec{a} + 2\vec{b} = k\vec{a} - 3k\vec{b}$

Сгруппируем члены с $\vec{a}$ в левой части, а с $\vec{b}$ — в правой:

$\vec{a} - k\vec{a} = -3k\vec{b} - 2\vec{b}$

Вынесем общие векторные множители за скобки:

$(1-k)\vec{a} = (-3k - 2)\vec{b}$

Далее рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $1-k \neq 0$, то есть $k \neq 1$.

В этом случае мы можем разделить обе части равенства на ненулевой скаляр $(1-k)$:

$\vec{a} = \frac{-3k - 2}{1 - k}\vec{b}$

Обозначим коэффициент при $\vec{b}$ как $m = \frac{-3k - 2}{1 - k}$. Так как $k$ — это число, то $m$ — тоже число. Таким образом, мы получили равенство вида $\vec{a} = m\vec{b}$. Это по определению означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Случай 2: $1-k = 0$, то есть $k = 1$.

Подставим $k=1$ в исходное преобразованное уравнение $(1-k)\vec{a} = (-3k - 2)\vec{b}$:

$(1-1)\vec{a} = (-3 \cdot 1 - 2)\vec{b}$

$0 \cdot \vec{a} = (-5)\vec{b}$

$\vec{0} = -5\vec{b}$

Это равенство выполняется только в том случае, если $\vec{b} = \vec{0}$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору, а значит, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них доказали, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Ответ: Утверждение доказано. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

591. Докажите, что если векторы a + b и a − b и не коллинеарны, то не коллинеарны и векторы:

Пусть даны векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$, которые по условию не коллинеарны. Это означает, что не существует такого числа $k$, для которого выполнялось бы равенство $\vec{c} = k\vec{d}$.

Будем доказывать методом от противного. Предположим, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то один из них можно выразить через другой с помощью некоторого числового коэффициента $m$, то есть $\vec{a} = m\vec{b}$. (Мы можем считать, что $\vec{b} \neq \vec{0}$, так как если $\vec{b} = \vec{0}$, то $\vec{c} = \vec{a}$ и $\vec{d} = \vec{a}$, что означало бы их коллинеарность, а это противоречит условию. Аналогично, $\vec{a} \neq \vec{0}$).

Теперь выразим векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ через $\vec{b}$, используя наше предположение:

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = m\vec{b} + \vec{b} = (m+1)\vec{b}$

$\vec{d} = \vec{a} - \vec{b} = m\vec{b} - \vec{b} = (m-1)\vec{b}$

Рассмотрим возможные случаи для $m$.

1. Если $m \neq 1$, то из второго равенства можно выразить $\vec{b} = \frac{1}{m-1}\vec{d}$. Подставим это выражение в первое равенство: $\vec{c} = (m+1) \left( \frac{1}{m-1}\vec{d} \right) = \frac{m+1}{m-1}\vec{d}$. Полученное равенство показывает, что вектор $\vec{c}$ можно получить умножением вектора $\vec{d}$ на число $k = \frac{m+1}{m-1}$. Это по определению означает, что векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ коллинеарны.

2. Если $m = 1$, то $\vec{a} = \vec{b}$. Тогда $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b} = \vec{b} - \vec{b} = \vec{0}$. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, значит, векторы $\vec{c} = 2\vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{0}$ коллинеарны.

В обоих случаях мы пришли к выводу, что векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ коллинеарны. Это противоречит исходному условию задачи. Следовательно, наше предположение о том, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, было неверным.

Ответ: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, что и требовалось доказать.

Снова воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что векторы $\vec{p} = \vec{a} + 2\vec{b}$ и $\vec{q} = 2\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. Тогда существует такое число $k$, что $\vec{p} = k\vec{q}$.

Запишем это равенство в развернутом виде:

$\vec{a} + 2\vec{b} = k(2\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$\vec{a} + 2\vec{b} - 2k\vec{a} + k\vec{b} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$(1 - 2k)\vec{a} + (2 + k)\vec{b} = \vec{0}$

В пункте а) мы доказали, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Известно, что линейная комбинация двух неколлинеарных векторов равна нулевому вектору только в том случае, когда коэффициенты при этих векторах равны нулю. Таким образом, должно выполняться следующее:

$1 - 2k = 0$

$2 + k = 0$

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения находим $2k=1$, то есть $k = \frac{1}{2}$. Из второго уравнения находим $k = -2$.

Мы получили противоречие: число $k$ не может одновременно быть равным $\frac{1}{2}$ и $-2$. Это означает, что не существует такого числа $k$, которое бы удовлетворяло условию коллинеарности. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Векторы $\vec{a} + 2\vec{b}$ и $2\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны, что и требовалось доказать.