Номер 588, страница 150 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

588. Векторы b и c, а также b и c коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы:

По условию задачи, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$, а также векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны. Коллинеарность векторов означает, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Математически это выражается так: если два вектора $\vec{x}$ и $\vec{y}$ коллинеарны (и $\vec{y} \neq \vec{0}$), то существует такое действительное число (скаляр) $k$, что $\vec{x} = k \vec{y}$.

Исходя из условия, мы можем записать:

1. $\vec{a}$ коллинеарен $\vec{c}$, следовательно, существует скаляр $k_1$ такой, что $\vec{a} = k_1 \vec{c}$.

2. $\vec{b}$ коллинеарен $\vec{c}$, следовательно, существует скаляр $k_2$ такой, что $\vec{b} = k_2 \vec{c}$.

Теперь докажем коллинеарность для каждой пары векторов, показав, что результирующий вектор можно представить в виде произведения некоторого скаляра на вектор $\vec{c}$.

Рассмотрим векторную сумму $\vec{a} + \vec{b}$. Подставим в это выражение известные нам соотношения для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = k_1 \vec{c} + k_2 \vec{c}$

Используя дистрибутивный закон для векторов, вынесем общий векторный множитель $\vec{c}$ за скобки:

$\vec{a} + \vec{b} = (k_1 + k_2) \vec{c}$

Так как $k_1$ и $k_2$ являются числами (скалярами), их сумма $k_1 + k_2$ также является числом. Обозначим $k = k_1 + k_2$. Тогда мы получаем равенство $\vec{a} + \vec{b} = k \vec{c}$, которое по определению означает, что вектор $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$.

Ответ: Доказано.

Рассмотрим векторную разность $\vec{a} - \vec{b}$. Аналогично предыдущему пункту, подставим выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = k_1 \vec{c} - k_2 \vec{c}$

Вынесем вектор $\vec{c}$ за скобки:

$\vec{a} - \vec{b} = (k_1 - k_2) \vec{c}$

Разность скаляров $k_1 - k_2$ также является скаляром. Обозначим его как $k = k_1 - k_2$. Полученное равенство $\vec{a} - \vec{b} = k \vec{c}$ доказывает, что вектор $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$.

Ответ: Доказано.

Рассмотрим линейную комбинацию векторов $\vec{a} + 3\vec{b}$. Подставим выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} + 3\vec{b} = k_1 \vec{c} + 3(k_2 \vec{c})$

Упростим выражение и вынесем вектор $\vec{c}$ за скобки:

$\vec{a} + 3\vec{b} = k_1 \vec{c} + (3k_2)\vec{c} = (k_1 + 3k_2) \vec{c}$

Выражение в скобках $k_1 + 3k_2$ является скаляром. Обозначив его как $k = k_1 + 3k_2$, мы приходим к равенству $\vec{a} + 3\vec{b} = k \vec{c}$. Это доказывает коллинеарность вектора $\vec{a} + 3\vec{b}$ и вектора $\vec{c}$.

Ответ: Доказано.

Рассмотрим линейную комбинацию векторов $-\vec{a} + 2\vec{b}$. Подставим выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$-\vec{a} + 2\vec{b} = -(k_1 \vec{c}) + 2(k_2 \vec{c})$

Упростим и вынесем вектор $\vec{c}$ за скобки:

$-\vec{a} + 2\vec{b} = -k_1 \vec{c} + (2k_2)\vec{c} = (-k_1 + 2k_2) \vec{c}$

Выражение в скобках $-k_1 + 2k_2$ является скаляром. Обозначив его как $k = -k_1 + 2k_2$, получаем равенство $-\vec{a} + 2\vec{b} = k \vec{c}$. Следовательно, вектор $-\vec{a} + 2\vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$.

Ответ: Доказано.