Номер 14, страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: коричневый с ромбами

ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Глава 6. Векторы в пространстве. Вопросы к главе 6 - номер 14, страница 157.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№14 (с. 157)
Условие. №14 (с. 157)
ГДЗ Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 157, номер 14, Условие

14. Известно, что векторы a, b и c компланарны. Компланарны ли векторы:

Упражнение 14 Компланарны ли векторы
Решение 2. №14 (с. 157)
ГДЗ Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 157, номер 14, Решение 2 ГДЗ Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 157, номер 14, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 6. №14 (с. 157)

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Это означает, что их можно привести к общему началу и расположить в одной плоскости.
Основным критерием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Если векторы $\vec{u}$, $\vec{v}$ и $\vec{w}$ компланарны, то их смешанное произведение $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = 0$.
Другое важное свойство заключается в том, что если векторы лежат в одной плоскости, то любая их линейная комбинация (сумма или разность векторов, умножение на число) также будет вектором, лежащим в той же плоскости.
По условию задачи, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны. Это означает, что они лежат в одной плоскости $P$ и их смешанное произведение $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.

а) Проверим компланарность векторов $\vec{a}$, $2\vec{b}$, $3\vec{c}$.

Способ 1: Геометрическое рассуждение.
Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ лежат в одной плоскости $P$, то:

  • Вектор $\vec{a}$ лежит в плоскости $P$.
  • Вектор $2\vec{b}$ является результатом умножения вектора $\vec{b}$ на скаляр 2. Он коллинеарен вектору $\vec{b}$ и, следовательно, также лежит в плоскости $P$.
  • Вектор $3\vec{c}$ является результатом умножения вектора $\vec{c}$ на скаляр 3. Он коллинеарен вектору $\vec{c}$ и, следовательно, также лежит в плоскости $P$.

Так как все три вектора $\vec{a}$, $2\vec{b}$ и $3\vec{c}$ лежат в одной и той же плоскости $P$, они компланарны.

Способ 2: Через смешанное произведение.
Вычислим смешанное произведение векторов $\vec{a}$, $2\vec{b}$ и $3\vec{c}$:
$(\vec{a} \times (2\vec{b})) \cdot (3\vec{c})$
Используя свойства скалярного и векторного произведений, вынесем константы:
$2 \cdot 3 \cdot ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}) = 6((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$
Поскольку исходные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны, их смешанное произведение равно нулю: $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
Следовательно, смешанное произведение новых векторов равно $6 \cdot 0 = 0$. Это доказывает, что векторы $\vec{a}$, $2\vec{b}$ и $3\vec{c}$ компланарны.

Ответ: Да, компланарны.

б) Проверим компланарность векторов $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} + 2\vec{c}$, $2\vec{b} - 3\vec{c}$.

Способ 1: Геометрическое рассуждение.
Исходные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ лежат в одной плоскости $P$. Любая линейная комбинация векторов, лежащих в плоскости, также является вектором, лежащим в этой же плоскости.

  • Вектор $\vec{a} + \vec{b}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, поэтому он лежит в плоскости $P$.
  • Вектор $\vec{a} + 2\vec{c}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$, поэтому он также лежит в плоскости $P$.
  • Вектор $2\vec{b} - 3\vec{c}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$, поэтому он также лежит в плоскости $P$.

Поскольку все три новых вектора лежат в одной и той же плоскости $P$, они компланарны.

Способ 2: Через смешанное произведение.
Вычислим смешанное произведение новых векторов:
$((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 2\vec{c})) \cdot (2\vec{b} - 3\vec{c})$
Сначала раскроем векторное произведение, используя его дистрибутивность и свойство $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$:
$(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 2\vec{c}) = \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times 2\vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times 2\vec{c} = \vec{0} + 2(\vec{a} \times \vec{c}) - (\vec{a} \times \vec{b}) + 2(\vec{b} \times \vec{c})$
Теперь выполним скалярное произведение полученного вектора на $(2\vec{b} - 3\vec{c})$:
$(2(\vec{a} \times \vec{c}) - (\vec{a} \times \vec{b}) + 2(\vec{b} \times \vec{c})) \cdot (2\vec{b} - 3\vec{c})$
Раскроем скобки и воспользуемся тем, что смешанное произведение, содержащее два одинаковых вектора, равно нулю (например, $(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{c} = 0$):
$2(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot (2\vec{b}) - 2(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot (3\vec{c}) - (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (2\vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (3\vec{c}) + 2(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (2\vec{b}) - 2(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (3\vec{c})$
$= 4((\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b}) - 6(0) - 2(0) + 3((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}) + 4(0) - 6(0)$
$= 4((\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b}) + 3((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$
Используем свойство смешанного произведения: $(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b} = - (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
$= -4((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}) + 3((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}) = - ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$
По условию, $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
Значит, смешанное произведение новых векторов равно $-0 = 0$. Следовательно, они компланарны.

Ответ: Да, компланарны.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 14 расположенного на странице 157 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №14 (с. 157), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться