Номер 14, страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

14. Известно, что векторы a, b и c компланарны. Компланарны ли векторы:

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Это означает, что их можно привести к общему началу и расположить в одной плоскости.
Основным критерием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Если векторы $\vec{u}$, $\vec{v}$ и $\vec{w}$ компланарны, то их смешанное произведение $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = 0$.
Другое важное свойство заключается в том, что если векторы лежат в одной плоскости, то любая их линейная комбинация (сумма или разность векторов, умножение на число) также будет вектором, лежащим в той же плоскости.
По условию задачи, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны. Это означает, что они лежат в одной плоскости $P$ и их смешанное произведение $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.

а) Проверим компланарность векторов $\vec{a}$, $2\vec{b}$, $3\vec{c}$.

Способ 1: Геометрическое рассуждение.
Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ лежат в одной плоскости $P$, то:

• Вектор $\vec{a}$ лежит в плоскости $P$.
• Вектор $2\vec{b}$ является результатом умножения вектора $\vec{b}$ на скаляр 2. Он коллинеарен вектору $\vec{b}$ и, следовательно, также лежит в плоскости $P$.
• Вектор $3\vec{c}$ является результатом умножения вектора $\vec{c}$ на скаляр 3. Он коллинеарен вектору $\vec{c}$ и, следовательно, также лежит в плоскости $P$.

Так как все три вектора $\vec{a}$, $2\vec{b}$ и $3\vec{c}$ лежат в одной и той же плоскости $P$, они компланарны.

Способ 2: Через смешанное произведение.
Вычислим смешанное произведение векторов $\vec{a}$, $2\vec{b}$ и $3\vec{c}$:
$(\vec{a} \times (2\vec{b})) \cdot (3\vec{c})$
Используя свойства скалярного и векторного произведений, вынесем константы:
$2 \cdot 3 \cdot ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}) = 6((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$
Поскольку исходные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны, их смешанное произведение равно нулю: $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
Следовательно, смешанное произведение новых векторов равно $6 \cdot 0 = 0$. Это доказывает, что векторы $\vec{a}$, $2\vec{b}$ и $3\vec{c}$ компланарны.

Ответ: Да, компланарны.

б) Проверим компланарность векторов $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} + 2\vec{c}$, $2\vec{b} - 3\vec{c}$.

Способ 1: Геометрическое рассуждение.
Исходные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ лежат в одной плоскости $P$. Любая линейная комбинация векторов, лежащих в плоскости, также является вектором, лежащим в этой же плоскости.

• Вектор $\vec{a} + \vec{b}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, поэтому он лежит в плоскости $P$.
• Вектор $\vec{a} + 2\vec{c}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$, поэтому он также лежит в плоскости $P$.
• Вектор $2\vec{b} - 3\vec{c}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$, поэтому он также лежит в плоскости $P$.

Поскольку все три новых вектора лежат в одной и той же плоскости $P$, они компланарны.

Способ 2: Через смешанное произведение.
Вычислим смешанное произведение новых векторов:
$((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 2\vec{c})) \cdot (2\vec{b} - 3\vec{c})$
Сначала раскроем векторное произведение, используя его дистрибутивность и свойство $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$:
$(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 2\vec{c}) = \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times 2\vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times 2\vec{c} = \vec{0} + 2(\vec{a} \times \vec{c}) - (\vec{a} \times \vec{b}) + 2(\vec{b} \times \vec{c})$
Теперь выполним скалярное произведение полученного вектора на $(2\vec{b} - 3\vec{c})$:
$(2(\vec{a} \times \vec{c}) - (\vec{a} \times \vec{b}) + 2(\vec{b} \times \vec{c})) \cdot (2\vec{b} - 3\vec{c})$
Раскроем скобки и воспользуемся тем, что смешанное произведение, содержащее два одинаковых вектора, равно нулю (например, $(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{c} = 0$):
$2(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot (2\vec{b}) - 2(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot (3\vec{c}) - (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (2\vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (3\vec{c}) + 2(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (2\vec{b}) - 2(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (3\vec{c})$
$= 4((\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b}) - 6(0) - 2(0) + 3((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}) + 4(0) - 6(0)$
$= 4((\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b}) + 3((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$
Используем свойство смешанного произведения: $(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b} = - (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
$= -4((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}) + 3((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}) = - ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$
По условию, $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
Значит, смешанное произведение новых векторов равно $-0 = 0$. Следовательно, они компланарны.

Ответ: Да, компланарны.