Номер 11, страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

11. На какое число нужно умножить ненулевой вектор a, чтобы получить вектор b, удовлетворяющий следующим условиям:

Пусть искомое число равно $c$. Тогда по определению умножения вектора на число, мы ищем такое $c$, что $\vec{b} = c \cdot \vec{a}$. При этом, модуль вектора $\vec{b}$ связан с модулем вектора $\vec{a}$ соотношением $|\vec{b}| = |c| \cdot |\vec{a}|$. Направление вектора $\vec{b}$ совпадает с направлением $\vec{a}$ (сонаправлен, $\uparrow\uparrow$), если $c > 0$, и противоположно направлению $\vec{a}$ (противоположно направлен, $\uparrow\downarrow$), если $c < 0$. Если $c=0$, то $\vec{b}$ является нулевым вектором. Вектор $\vec{a}$ по условию является ненулевым, то есть $|\vec{a}| \neq 0$.

а) По условию, вектор $\vec{b}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$ ($\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$). Это означает, что число $c$ должно быть положительным: $c > 0$. Также по условию, модули векторов равны: $|\vec{b}| = |\vec{a}|$. Подставим это в общую формулу для модулей: $|\vec{a}| = |c| \cdot |\vec{a}|$. Так как $\vec{a}$ — ненулевой вектор, $|\vec{a}| \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $|\vec{a}|$. Получаем: $|c| = 1$. Учитывая, что $c > 0$, единственным решением является $c = 1$.
Ответ: $1$.

б) По условию, вектор $\vec{b}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$ ($\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$). Это означает, что число $c$ должно быть положительным: $c > 0$. Также по условию, $|\vec{b}| = 3|\vec{a}|$. Подставим это в общую формулу для модулей: $3|\vec{a}| = |c| \cdot |\vec{a}|$. Так как $|\vec{a}| \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $|\vec{a}|$. Получаем: $|c| = 3$. Учитывая, что $c > 0$, единственным решением является $c = 3$.
Ответ: $3$.

в) По условию, вектор $\vec{b}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$ ($\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}$). Это означает, что число $c$ должно быть отрицательным: $c < 0$. Также по условию, $|\vec{b}| = k|\vec{a}|$. (Предполагается, что $k \ge 0$, так как модуль вектора — неотрицательная величина). Подставим это в общую формулу для модулей: $k|\vec{a}| = |c| \cdot |\vec{a}|$. Так как $|\vec{a}| \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $|\vec{a}|$. Получаем: $|c| = k$. Учитывая, что $c < 0$, решением является $c = -k$.
Ответ: $-k$.

г) По условию, требуется получить нулевой вектор: $\vec{b} = \vec{0}$. Мы ищем такое число $c$, что $c \cdot \vec{a} = \vec{0}$. Так как вектор $\vec{a}$ по условию ненулевой ($\vec{a} \neq \vec{0}$), равенство возможно только в том случае, если скалярный множитель равен нулю. Следовательно, $c=0$.
Ответ: $0$.