Номер 579, страница 149 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

579. Точка Р — вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке Р, образованных боковыми рёбрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке Р, образованных апофемами.

Пусть $P$ — вершина правильной шестиугольной пирамиды, а $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ — последовательные вершины её основания, которое является правильным шестиугольником.

Векторы, образованные боковыми рёбрами пирамиды, — это векторы, идущие из вершины $P$ в вершины основания: $\vec{PA_1}, \vec{PA_2}, \dots, \vec{PA_6}$.
Сумма этих векторов, обозначим её $\vec{S_1}$, равна:

$\vec{S_1} = \vec{PA_1} + \vec{PA_2} + \vec{PA_3} + \vec{PA_4} + \vec{PA_5} + \vec{PA_6} = \sum_{i=1}^{6} \vec{PA_i}$

Апофема правильной пирамиды — это высота её боковой грани, проведённая из вершины пирамиды. Пусть $M_1, M_2, \dots, M_6$ — середины сторон основания $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_6A_1$ соответственно. Тогда векторы, образованные апофемами, — это векторы $\vec{PM_1}, \vec{PM_2}, \dots, \vec{PM_6}$.
Сумма этих векторов, обозначим её $\vec{S_2}$, равна:

$\vec{S_2} = \vec{PM_1} + \vec{PM_2} + \vec{PM_3} + \vec{PM_4} + \vec{PM_5} + \vec{PM_6} = \sum_{i=1}^{6} \vec{PM_i}$

Требуется доказать, что $\vec{S_1} = \vec{S_2}$.

Рассмотрим любую боковую грань пирамиды, например, треугольник $PA_iA_{i+1}$ (где $A_7$ считается равной $A_1$). Поскольку $M_i$ является серединой стороны $A_iA_{i+1}$, отрезок $PM_i$ является медианой этого треугольника. По свойству медианы треугольника, вектор медианы, проведённой из некоторой вершины, равен полусумме векторов, исходящих из той же вершины и идущих к двум другим вершинам треугольника.

Применительно к нашим векторам, для каждой апофемы $\vec{PM_i}$ справедливо равенство:

$\vec{PM_i} = \frac{1}{2}(\vec{PA_i} + \vec{PA_{i+1}})$

Теперь найдём сумму векторов апофем $\vec{S_2}$, подставив в неё выражения для каждого вектора $\vec{PM_i}$:

$\vec{S_2} = \sum_{i=1}^{6} \vec{PM_i} = \frac{1}{2}(\vec{PA_1} + \vec{PA_2}) + \frac{1}{2}(\vec{PA_2} + \vec{PA_3}) + \frac{1}{2}(\vec{PA_3} + \vec{PA_4}) + \frac{1}{2}(\vec{PA_4} + \vec{PA_5}) + \frac{1}{2}(\vec{PA_5} + \vec{PA_6}) + \frac{1}{2}(\vec{PA_6} + \vec{PA_1})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и сгруппируем одинаковые векторы:

$\vec{S_2} = \frac{1}{2} [(\vec{PA_1} + \vec{PA_1}) + (\vec{PA_2} + \vec{PA_2}) + (\vec{PA_3} + \vec{PA_3}) + (\vec{PA_4} + \vec{PA_4}) + (\vec{PA_5} + \vec{PA_5}) + (\vec{PA_6} + \vec{PA_6})]$

$\vec{S_2} = \frac{1}{2} [2\vec{PA_1} + 2\vec{PA_2} + 2\vec{PA_3} + 2\vec{PA_4} + 2\vec{PA_5} + 2\vec{PA_6}]$

Сократив общий множитель 2, получаем:

$\vec{S_2} = \vec{PA_1} + \vec{PA_2} + \vec{PA_3} + \vec{PA_4} + \vec{PA_5} + \vec{PA_6}$

Сравнивая полученное выражение для $\vec{S_2}$ с исходным выражением для $\vec{S_1}$, мы видим, что они полностью совпадают:

$\vec{S_2} = \vec{S_1}$

Таким образом, мы доказали, что сумма всех векторов с началом в точке $P$, образованных боковыми рёбрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке $P$, образованных апофемами. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.