Номер 570, страница 148 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

570. В пространстве даны четыре точки А, В, С и D. Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный сумме векторов:

а) Для нахождения результирующего вектора упростим данное выражение, используя свойства сложения векторов.

Исходное выражение: $(\vec{AB} + \vec{CA} + \vec{DC}) + (\vec{BC} + \vec{CD})$

1. Раскроем скобки, так как сложение векторов ассоциативно:
$ \vec{AB} + \vec{CA} + \vec{DC} + \vec{BC} + \vec{CD} $

2. Перегруппируем векторы, используя коммутативный закон сложения, чтобы применить правило треугольника (правило Шаля): $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.
$ (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{CD} + \vec{DC}) + \vec{CA} $

3. Выполним сложение в скобках:
Сумма $\vec{AB} + \vec{BC}$ по правилу треугольника равна $\vec{AC}$.
Векторы $\vec{CD}$ и $\vec{DC}$ являются противоположными, их сумма равна нулевому вектору: $\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{0}$.

4. Подставим полученные результаты обратно в выражение:
$ \vec{AC} + \vec{0} + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA} $

5. Сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$ также равна нулевому вектору, так как они противоположны:
$ \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0} $

Нулевой вектор можно представить как вектор, у которого начало и конец совпадают. Это может быть любой из векторов $\vec{AA}$, $\vec{BB}$, $\vec{CC}$ или $\vec{DD}$.

Ответ: $\vec{AA}$ (или $\vec{BB}$, $\vec{CC}$, $\vec{DD}$).

б) Для нахождения результирующего вектора упростим данное выражение.

Исходное выражение: $(\vec{AB} - \vec{AC}) + \vec{DC}$

1. Сначала рассмотрим разность векторов в скобках. Разность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, имеющих общее начало в точке A, равна вектору $\vec{CB}$, который соединяет конец второго вектора (C) с концом первого (B):
$ \vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB} $

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:
$ \vec{CB} + \vec{DC} $

3. Используем коммутативный (переместительный) закон сложения векторов, чтобы поменять слагаемые местами для удобства применения правила треугольника:
$ \vec{DC} + \vec{CB} $

4. Теперь применим правило треугольника (правило Шаля). Конец первого вектора ($\vec{DC}$) совпадает с началом второго вектора ($\vec{CB}$), поэтому их сумма равна вектору, соединяющему начало первого вектора (D) с концом второго (B):
$ \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB} $

Таким образом, сумма векторов равна вектору $\vec{DB}$.

Ответ: $\vec{DB}$.