Номер 568, страница 148 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Глава 6. Векторы в пространстве - номер 568, страница 148.

Условие.

568. Пусть ABCD — параллелограмм, а О — произвольная точка пространства. Докажите, что:

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а) Докажите, что: $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OD}$

Для доказательства этого равенства воспользуемся правилом вычитания векторов. Разность двух векторов, отложенных от одной точки (в данном случае, от точки $O$), есть вектор, который соединяет их концы и направлен от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.

Применим это правило к левой части равенства:

$\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$

Аналогично, применим это правило к правой части равенства:

$\vec{OC} - \vec{OD} = \vec{DC}$

Таким образом, исходное равенство $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OD}$ эквивалентно равенству векторов $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны (они сонаправлены и их длины равны). Следовательно, равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$ является истинным, а значит, истинно и исходное равенство.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что: $\vec{OB} - \vec{OC} = \vec{DA}$

Для доказательства этого равенства можно использовать как прямое доказательство, так и результат, полученный в пункте а). Воспользуемся вторым, более изящным способом.

Из пункта а) мы знаем, что верно равенство:

$\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OD}$

Используя правила векторной алгебры, перегруппируем члены этого равенства. Перенесем вектор $\vec{OC}$ в левую часть, а вектор $\vec{OA}$ — в правую, изменив их знаки на противоположные:

$\vec{OB} - \vec{OC} = \vec{OA} - \vec{OD}$

Теперь рассмотрим правую часть полученного равенства: $\vec{OA} - \vec{OD}$. По правилу вычитания векторов, эта разность равна вектору $\vec{DA}$:

$\vec{OA} - \vec{OD} = \vec{DA}$

Подставляя это в наше преобразованное равенство, получаем:

$\vec{OB} - \vec{OC} = \vec{DA}$

Таким образом, искомое равенство доказано.

Ответ: Доказано.