Номер 599, страница 154 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

599. Точка K — середина ребра ВС тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK по векторам a = DA, b = AB и c = AC.

Решение

Так как точка K — середина отрезка ВС, то

Решение

По условию задачи, нам дан тетраэдр $ABCD$ и точка $K$ — середина ребра $BC$. Нам необходимо разложить вектор $\vec{DK}$ по базисным векторам $\vec{a} = \vec{DA}$, $\vec{b} = \vec{AB}$ и $\vec{c} = \vec{AC}$.

Рассмотрим треугольник $DBC$. Поскольку точка $K$ является серединой стороны $BC$, отрезок $DK$ является медианой этого треугольника, проведенной из вершины $D$. Вектор, соответствующий медиане, равен полусумме векторов, исходящих из той же вершины к концам стороны, которую медиана делит пополам. Таким образом, для вектора $\vec{DK}$ справедливо следующее равенство:
$\vec{DK} = \frac{1}{2}(\vec{DB} + \vec{DC})$

Теперь нам нужно выразить векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ через заданные базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Для этого воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника).

Чтобы получить вектор $\vec{DB}$, мы можем пройти из точки $D$ в точку $A$, а затем из точки $A$ в точку $B$. Это соответствует сумме векторов $\vec{DA}$ и $\vec{AB}$:
$\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB} = \vec{a} + \vec{b}$

Аналогично, чтобы получить вектор $\vec{DC}$, мы можем пройти из точки $D$ в точку $A$, а затем из точки $A$ в точку $C$. Это соответствует сумме векторов $\vec{DA}$ и $\vec{AC}$:
$\vec{DC} = \vec{DA} + \vec{AC} = \vec{a} + \vec{c}$

Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ в исходную формулу для $\vec{DK}$:
$\vec{DK} = \frac{1}{2}((\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} + \vec{c}))$

Осталось только упростить это выражение. Сначала сгруппируем подобные слагаемые в скобках:
$\vec{DK} = \frac{1}{2}(2\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Затем умножим каждый член в скобках на $\frac{1}{2}$:
$\vec{DK} = \frac{1}{2}(2\vec{a}) + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

Таким образом, мы разложили вектор $\vec{DK}$ по заданным векторам.

Ответ: $\vec{DK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$