Номер 600, страница 154 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

600. Основанием пирамиды с вершиной О является параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке М. Разложите векторы OD и OM по векторам a = OA, b = OB и c = OC.

Разложение вектора $\vec{OD}$

Для нахождения вектора $\vec{OD}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника), выразив искомый вектор через другие векторы, образующие замкнутый путь. Например, можно записать:
$\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{AD}$.

Поскольку основанием пирамиды является параллелограмм $ABCD$, его противолежащие стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы, направленные вдоль этих сторон, равны: $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Подставим $\vec{BC}$ вместо $\vec{AD}$ в наше выражение:
$\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC}$.

Теперь выразим вектор $\vec{BC}$ через заданные векторы, которые имеют общее начало в точке $O$. По правилу вычитания векторов:
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$.

Подставим полученное выражение для $\vec{BC}$ в формулу для $\vec{OD}$:
$\vec{OD} = \vec{OA} + (\vec{OC} - \vec{OB}) = \vec{OA} + \vec{OC} - \vec{OB}$.

Наконец, заменим векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ на их обозначения $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ из условия задачи:
$\vec{OD} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{OD} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.

Разложение вектора $\vec{OM}$

Точка $M$ является точкой пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. По свойству параллелограмма, диагонали в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой диагонали $AC$.

Вектор, проведенный из произвольной точки пространства ($O$) в середину отрезка ($M$), равен полусумме векторов, проведенных из этой же точки в концы отрезка ($A$ и $C$). Математически это записывается так:
$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$.

Подставим в эту формулу заданные в условии векторы $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{c} = \vec{OC}$:
$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})$.

Ответ: $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})$.