Номер 605, страница 155 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

605. Точки М и N являются серединами рёбер AB и А₁D₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложите, если это возможно, по векторам AB и AD вектор:

Для решения задачи введем базисные векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из вершины A: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$. Разложение по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ возможно только для тех векторов, которые компланарны плоскости основания ABCD, то есть для векторов, которые можно представить в виде $k\vec{AB} + l\vec{AD}$ (их составляющая по вектору $\vec{AA_1}$ равна нулю).

По условию задачи, точка M — середина ребра AB, следовательно, $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$. Точка N — середина ребра A?D?, следовательно, $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{A_1D_1}$. Так как в параллелепипеде $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$, то $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Рассмотрим каждый вектор по отдельности.

а) $\vec{AC}$

Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания ABCD. По правилу параллелограмма для сложения векторов: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. В параллелепипеде $\vec{BC} = \vec{AD}$. Таким образом, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Данный вектор лежит в плоскости основания, поэтому разложение возможно.

Ответ: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

б) $\vec{CM}$

Выразим вектор $\vec{CM}$ через векторы с общим началом в точке A: $\vec{CM} = \vec{AM} - \vec{AC}$. Из пункта (а) мы знаем, что $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$, а по условию $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$. Подставим эти выражения: $\vec{CM} = \frac{1}{2}\vec{AB} - (\vec{AB} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AB} - \vec{AD} = -\frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AD}$. Точки C и M лежат в плоскости основания ABCD, значит и вектор $\vec{CM}$ лежит в этой плоскости. Разложение возможно.

Ответ: $\vec{CM} = -\frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AD}$.

в) $\vec{C_1N}$

Выразим вектор $\vec{C_1N}$ через векторы, выходящие из вершины $A_1$, которая находится в одной плоскости с точками $C_1$ и $N$. $\vec{C_1N} = \vec{A_1N} - \vec{A_1C_1}$. По условию, $N$ — середина $A_1D_1$, поэтому $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{A_1D_1}$. Вектор $\vec{A_1C_1}$ является диагональю грани $A_1B_1C_1D_1$, поэтому $\vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{A_1D_1}$. Тогда $\vec{C_1N} = \frac{1}{2}\vec{A_1D_1} - (\vec{A_1B_1} + \vec{A_1D_1}) = -\vec{A_1B_1} - \frac{1}{2}\vec{A_1D_1}$. Поскольку в параллелепипеде $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$ и $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$, получаем: $\vec{C_1N} = -\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$. Вектор лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, параллельной плоскости $ABCD$, поэтому разложение возможно.

Ответ: $\vec{C_1N} = -\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.

г) $\vec{AC_1}$

Вектор $\vec{AC_1}$ является пространственной диагональю параллелепипеда. По правилу параллелепипеда: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$. Этот вектор не компланарен векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, так как имеет ненулевую составляющую $\vec{AA_1}$, которая не лежит в плоскости основания ABCD. Следовательно, разложить вектор $\vec{AC_1}$ только по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ невозможно.

Ответ: Разложение невозможно.

д) $\vec{A_1N}$

Точка N — середина ребра $A_1D_1$. Следовательно, вектор $\vec{A_1N}$ можно выразить как $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{A_1D_1}$. В параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$. Таким образом, $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{AD}$. Это и есть искомое разложение (коэффициент при $\vec{AB}$ равен 0). Вектор $\vec{A_1N}$ параллелен вектору $\vec{AD}$ и, следовательно, его можно разложить по базису $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Ответ: $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

е) $\vec{AN}$

Выразим вектор $\vec{AN}$, двигаясь из точки A в точку N через вершину $A_1$. $\vec{AN} = \vec{AA_1} + \vec{A_1N}$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{AD}$. Тогда $\vec{AN} = \vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AD}$. Этот вектор имеет ненулевую составляющую $\vec{AA_1}$, которая не компланарна векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Следовательно, разложить вектор $\vec{AN}$ по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ невозможно.

Ответ: Разложение невозможно.

ж) $\vec{MD}$

Выразим вектор $\vec{MD}$ через векторы с общим началом в точке A: $\vec{MD} = \vec{AD} - \vec{AM}$. По условию, M — середина ребра AB, поэтому $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$. Подставляя, получаем: $\vec{MD} = \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AB}$. Точки M и D лежат в плоскости основания ABCD, значит и вектор $\vec{MD}$ лежит в этой плоскости. Разложение возможно.

Ответ: $\vec{MD} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}$.