Номер 699, страница 177 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

699. Докажите справедливость равенства

Решение

Запишем сумму трёх векторов a, b и c в виде a + b + c = (a + b) + c. Пользуясь распределительным законом скалярного произведения векторов, получаем

Для того чтобы доказать справедливость равенства $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\vec{d} = \vec{a}\vec{d} + \vec{b}\vec{d} + \vec{c}\vec{d}$, мы будем последовательно применять свойства операций над векторами.

В основе доказательства лежит распределительный (дистрибутивный) закон скалярного произведения относительно сложения векторов. Этот закон утверждает, что для любых двух векторов, например $\vec{x}$ и $\vec{y}$, их скалярное произведение на третий вектор $\vec{z}$ равно сумме скалярных произведений: $(\vec{x}+\vec{y})\vec{z} = \vec{x}\vec{z} + \vec{y}\vec{z}$.

Рассмотрим левую часть исходного равенства $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\vec{d}$. Воспользуемся свойством ассоциативности сложения векторов, которое позволяет нам группировать слагаемые: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}$.

Теперь выражение в левой части можно записать так: $((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c})\vec{d}$.

Мы можем рассматривать $(\vec{a}+\vec{b})$ как один вектор. Тогда, применяя распределительный закон скалярного произведения к сумме двух векторов — $(\vec{a}+\vec{b})$ и $\vec{c}$ — получаем: $$((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c})\vec{d} = (\vec{a}+\vec{b})\vec{d} + \vec{c}\vec{d}$$

Далее, применим распределительный закон ещё раз, но теперь к выражению $(\vec{a}+\vec{b})\vec{d}$: $$(\vec{a}+\vec{b})\vec{d} = \vec{a}\vec{d} + \vec{b}\vec{d}$$

Подставим полученный результат в предыдущее равенство: $$(\vec{a}\vec{d} + \vec{b}\vec{d}) + \vec{c}\vec{d}$$

Так как скалярное произведение векторов является числом (скаляром), а сложение чисел ассоциативно, мы можем опустить скобки и получить окончательное выражение: $$\vec{a}\vec{d} + \vec{b}\vec{d} + \vec{c}\vec{d}$$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства тождественно равна его правой части: $$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\vec{d} = \vec{a}\vec{d} + \vec{b}\vec{d} + \vec{c}\vec{d}$$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано. Оно является обобщением распределительного закона скалярного произведения на случай суммы трёх векторов.