Номер 706, страница 178 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

706. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой AA₁ = 2AB (рис. 193, а). Найдите угол между прямыми АС₁ и А₁В.

Решение

Пусть AB = а, тогда AA₁ = a2. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 193, б. Вершины А, В, A₁, C₁ имеют следующие координаты (объясните почему):

Отсюда находим координаты векторов AC₁ и BA₁:

Векторы AC₁ и BA₁ являются направляющими векторами прямых АС₁ и A₁B. Искомый угол φ между ними можно найти с помощью формулы (2):

Решение

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы $AB = a$. По условию задачи, высота призмы $AA_1 = \sqrt{2}AB$, следовательно, $AA_1 = a\sqrt{2}$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $A_1B$ введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке 193, б. Объясним, почему вершины имеют указанные в задаче координаты.

1. Поместим начало координат в вершину $C$. Таким образом, $C$ имеет координаты $(0; 0; 0)$.
2. Направим ось $Oz$ вдоль бокового ребра $CC_1$. Так как высота призмы равна $a\sqrt{2}$, то вершина $C_1$ будет иметь координаты $(0; 0; a\sqrt{2})$.
3. Расположим основание $ABC$ в плоскости $Oxy$. Так как $ABC$ – правильный треугольник со стороной $a$, то $|AB| = |BC| = |CA| = a$.
4. Пусть ось $Oy$ проходит через сторону $CB$. Тогда вершина $B$ будет иметь координаты $(0; a; 0)$, поскольку $|CB|=a$.
5. Найдем координаты вершины $A(x_A, y_A, 0)$. Расстояние от $A$ до $C$ равно $a$, и расстояние от $A$ до $B$ равно $a$.

   Из $|CA|=a$ следует: $\sqrt{(x_A-0)^2 + (y_A-0)^2 + (0-0)^2} = a \implies x_A^2 + y_A^2 = a^2$.

   Из $|AB|=a$ следует: $\sqrt{(x_A-0)^2 + (y_A-a)^2 + (0-0)^2} = a \implies x_A^2 + (y_A-a)^2 = a^2 \implies x_A^2 + y_A^2 - 2ay_A + a^2 = a^2$.

   Подставляя $x_A^2 + y_A^2 = a^2$ во второе уравнение, получаем: $a^2 - 2ay_A + a^2 = a^2 \implies a^2 - 2ay_A = 0$. Отсюда $y_A = \frac{a}{2}$.

   Теперь найдем $x_A$: $x_A^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 \implies x_A^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$. Поскольку по рисунку вершина $A$ находится в полуплоскости с $x>0$, то $x_A = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

   Таким образом, координаты вершины $A$ равны $(\frac{a\sqrt{3}}{2}; \frac{a}{2}; 0)$.

6. Вершина $A_1$ получается сдвигом вершины $A$ на вектор $\vec{CC_1} = \{0; 0; a\sqrt{2}\}$. Следовательно, координаты $A_1$ равны $(\frac{a\sqrt{3}}{2}; \frac{a}{2}; a\sqrt{2})$.

Теперь у нас есть все необходимые координаты для нахождения векторов:

$A(\frac{a\sqrt{3}}{2}; \frac{a}{2}; 0)$, $B(0; a; 0)$, $C_1(0; 0; a\sqrt{2})$, $A_1(\frac{a\sqrt{3}}{2}; \frac{a}{2}; a\sqrt{2})$.

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AC_1$ и $A_1B$. В качестве направляющего вектора для прямой $AC_1$ возьмем вектор $\vec{AC_1}$. В качестве направляющего вектора для прямой $A_1B$ возьмем вектор $\vec{BA_1}$.

$\vec{AC_1} = \{x_{C_1}-x_A; y_{C_1}-y_A; z_{C_1}-z_A\} = \{0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}; 0 - \frac{a}{2}; a\sqrt{2} - 0\} = \{-\frac{a\sqrt{3}}{2}; -\frac{a}{2}; a\sqrt{2}\}$

$\vec{BA_1} = \{x_{A_1}-x_B; y_{A_1}-y_B; z_{A_1}-z_B\} = \{\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0; \frac{a}{2} - a; a\sqrt{2} - 0\} = \{\frac{a\sqrt{3}}{2}; -\frac{a}{2}; a\sqrt{2}\}$

Угол $\phi$ между прямыми $AC_1$ и $A_1B$ равен углу между их направляющими векторами. Косинус этого угла можно найти по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{AC_1} \cdot \vec{BA_1}|}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{BA_1}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{BA_1} = (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{a\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{a}{2}) \cdot (-\frac{a}{2}) + (a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2}) = -\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + 2a^2 = -\frac{2a^2}{4} + 2a^2 = -\frac{a^2}{2} + 2a^2 = \frac{3a^2}{2}$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{(-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{a}{2})^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + 2a^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

$|\vec{BA_1}| = \sqrt{(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{a}{2})^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + 2a^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|\frac{3a^2}{2}|}{a\sqrt{3} \cdot a\sqrt{3}} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{3a^2} = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим угол $\phi$ (угол между прямыми берется в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$):

$\phi = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.