Номер 711, страница 179 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

711. В тетраэдре ABCD ∠ABD = ∠ABC = ∠DBC = 90°, AB = BD = 2, BC = 1. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер AD и ВС, и плоскостью грани: а) ABD; б) DBC; в) ABC.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Условие $\angle ABD = \angle ABC = \angle DBC = 90^\circ$ означает, что ребра $BA, BC, BD$ попарно перпендикулярны. Это позволяет удобно расположить тетраэдр в прямоугольной системе координат.

Поместим вершину $B$ в начало координат $B(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер: ось $Ox$ вдоль ребра $BD$, ось $Oy$ вдоль ребра $BA$ и ось $Oz$ вдоль ребра $BC$.

С учетом заданных длин ребер $AB=2$, $BD=2$ и $BC=1$, определим координаты вершин тетраэдра:
$B(0, 0, 0)$
$A(0, 2, 0)$
$D(2, 0, 0)$
$C(0, 0, 1)$

Пусть $M$ — середина ребра $AD$, а $N$ — середина ребра $BC$. Найдем их координаты, используя формулу середины отрезка:

Координаты точки $M$: $M = (\frac{x_A+x_D}{2}, \frac{y_A+y_D}{2}, \frac{z_A+z_D}{2}) = (\frac{0+2}{2}, \frac{2+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 1, 0)$.

Координаты точки $N$: $N = (\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}, \frac{z_B+z_C}{2}) = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0, 0, \frac{1}{2})$.

Теперь найдем направляющий вектор $\vec{v}$ прямой, проходящей через точки $M$ и $N$:

$\vec{v} = \vec{MN} = (x_N-x_M, y_N-y_M, z_N-z_M) = (0-1, 0-1, \frac{1}{2}-0) = (-1, -1, \frac{1}{2})$.

Вычислим длину (модуль) этого вектора:

$|\vec{v}| = |\vec{MN}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Синус угла $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{v}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ вычисляется по формуле:

$\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$

а) Найдем синус угла между прямой $MN$ и плоскостью грани $ABD$.
Плоскость грани $ABD$ проходит через точки $A(0,2,0)$, $B(0,0,0)$ и $D(2,0,0)$. Она совпадает с координатной плоскостью $Oxy$, уравнение которой $z=0$.
Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_a = (0, 0, 1)$. Его модуль $|\vec{n}_a| = 1$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v}$ и $\vec{n}_a$:
$\vec{v} \cdot \vec{n}_a = (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + (\frac{1}{2}) \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Теперь вычислим синус угла:
$\sin \alpha_a = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}_a|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}_a|} = \frac{|\frac{1}{2}|}{\frac{3}{2} \cdot 1} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Найдем синус угла между прямой $MN$ и плоскостью грани $DBC$.
Плоскость грани $DBC$ проходит через точки $D(2,0,0)$, $B(0,0,0)$ и $C(0,0,1)$. Она совпадает с координатной плоскостью $Oxz$, уравнение которой $y=0$.
Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_b = (0, 1, 0)$. Его модуль $|\vec{n}_b| = 1$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v}$ и $\vec{n}_b$:
$\vec{v} \cdot \vec{n}_b = (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + (\frac{1}{2}) \cdot 0 = -1$.
Теперь вычислим синус угла:
$\sin \alpha_b = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}_b|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}_b|} = \frac{|-1|}{\frac{3}{2} \cdot 1} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) Найдем синус угла между прямой $MN$ и плоскостью грани $ABC$.
Плоскость грани $ABC$ проходит через точки $A(0,2,0)$, $B(0,0,0)$ и $C(0,0,1)$. Она совпадает с координатной плоскостью $Oyz$, уравнение которой $x=0$.
Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_c = (1, 0, 0)$. Его модуль $|\vec{n}_c| = 1$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v}$ и $\vec{n}_c$:
$\vec{v} \cdot \vec{n}_c = (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + (\frac{1}{2}) \cdot 0 = -1$.
Теперь вычислим синус угла:
$\sin \alpha_c = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}_c|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}_c|} = \frac{|-1|}{\frac{3}{2} \cdot 1} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.