Номер 705, страница 178 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

705. Вычислите угол между прямыми AB и CD, если:

Угол $\phi$ между двумя прямыми в пространстве определяется как острый угол между их направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Косинус этого угла вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

где $\vec{u} \cdot \vec{v}$ - скалярное произведение векторов, а $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$ - их длины (модули). Направляющий вектор прямой, проходящей через точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$, находится как $\vec{M_1M_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

Найдем направляющие векторы прямых AB и CD для точек A(3; -2; 4), B(4; -1; 2), C(6; -3; 2), D(7; -3; 1).

Направляющий вектор прямой AB: $\vec{AB} = (4-3; -1-(-2); 2-4) = (1; 1; -2)$.

Направляющий вектор прямой CD: $\vec{CD} = (7-6; -3-(-3); 1-2) = (1; 0; -1)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) = 1 + 0 + 2 = 3$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.

$|\vec{CD}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.

Теперь найдем косинус угла между прямыми:

$\cos \phi = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол $\phi$ равен:

$\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

Найдем направляющие векторы прямых AB и CD для точек A(5; -8; -1), B(6; -8; -2), C(7; -5; -11), D(7; -7; -9).

Направляющий вектор прямой AB: $\vec{AB} = (6-5; -8-(-8); -2-(-1)) = (1; 0; -1)$.

Направляющий вектор прямой CD: $\vec{CD} = (7-7; -7-(-5); -9-(-11)) = (0; -2; 2)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = 0 + 0 - 2 = -2$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.

$|\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{0+4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Найдем косинус угла между прямыми:

$\cos \phi = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Угол $\phi$ равен:

$\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Найдем направляющие векторы прямых AB и CD для точек A(1; 0; 2), B(2; 1; 0), C(0; -2; -4), D(-2; -4; 0).

Направляющий вектор прямой AB: $\vec{AB} = (2-1; 1-0; 0-2) = (1; 1; -2)$.

Направляющий вектор прямой CD: $\vec{CD} = (-2-0; -4-(-2); 0-(-4)) = (-2; -2; 4)$.

Заметим, что векторы коллинеарны, так как $\vec{CD} = -2 \cdot \vec{AB}$. Это означает, что прямые AB и CD параллельны, и угол между ними равен $0^\circ$.

Проверим это с помощью формулы. Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 4 = -2 - 2 - 8 = -12$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.

$|\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Найдем косинус угла:

$\cos \phi = \frac{|-12|}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{12}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$.

Угол $\phi$ равен:

$\phi = \arccos(1) = 0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.

Найдем направляющие векторы прямых AB и CD для точек A(-6; -15; 7), B(-7; -15; 8), C(14; -10; 9), D(14; -10; 7).

Направляющий вектор прямой AB: $\vec{AB} = (-7-(-6); -15-(-15); 8-7) = (-1; 0; 1)$.

Направляющий вектор прямой CD: $\vec{CD} = (14-14; -10-(-10); 7-9) = (0; 0; -2)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) = 0 + 0 - 2 = -2$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.

$|\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{0+0+4} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем косинус угла между прямыми:

$\cos \phi = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $\phi$ равен:

$\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.