Номер 707, страница 178 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

707. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка М лежит на ребре AA₁, причём AM : МА₁ = 3 : 1, а точка N — середина ребра ВС. Вычислите косинус угла между прямыми: а) MN и DD₁; б) MN и BD; в) MN и B₁D; г) MN и A₁C.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер $AD$ (ось $Ox$), $AB$ (ось $Oy$) и $AA_1$ (ось $Oz$).

Пусть ребро куба равно $a$. Из условия $AM:MA_1 = 3:1$ следует, что $AM = \frac{3}{4} AA_1$ и $MA_1 = \frac{1}{4} AA_1$. Чтобы избежать дробей в координатах, примем длину ребра куба $a=4$.

Тогда координаты вершин куба и точек $M$ и $N$ будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(0, 4, 0)$
• $C(4, 4, 0)$
• $D(4, 0, 0)$
• $A_1(0, 0, 4)$
• $B_1(0, 4, 4)$
• $D_1(4, 0, 4)$

Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$ и делит его в отношении $AM:MA_1=3:1$. Длина $AA_1=4$, значит $AM=3$. Координаты точки $M$ будут $(0, 0, 3)$.

Точка $N$ — середина ребра $BC$. Координаты $B(0, 4, 0)$ и $C(4, 4, 0)$. Координаты точки $N$ равны полусумме координат точек $B$ и $C$: $N(\frac{0+4}{2}, \frac{4+4}{2}, \frac{0+0}{2}) = (2, 4, 0)$.

Найдем вектор $\vec{MN}$ и его длину (модуль):

$\vec{MN} = N - M = (2-0, 4-0, 0-3) = (2, 4, -3)$

$|\vec{MN}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$

Косинус угла $\alpha$ между двумя прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

а) MN и DD?

Прямая $DD_1$ параллельна оси $Oz$. В качестве ее направляющего вектора можно взять вектор $\vec{k}=(0, 0, 1)$ или вектор $\vec{DD_1}$.

$\vec{DD_1} = D_1 - D = (4-4, 0-0, 4-0) = (0, 0, 4)$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{DD_1}$:

$\vec{MN} \cdot \vec{DD_1} = 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + (-3) \cdot 4 = -12$.

Найдем длину вектора $\vec{DD_1}$:

$|\vec{DD_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 4^2} = 4$.

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{DD_1}|}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{DD_1}|} = \frac{|-12|}{\sqrt{29} \cdot 4} = \frac{12}{4\sqrt{29}} = \frac{3}{\sqrt{29}} = \frac{3\sqrt{29}}{29}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{29}}{29}$

б) MN и BD

Найдем направляющий вектор $\vec{BD}$ и его длину:

$\vec{BD} = D - B = (4-0, 0-4, 0-0) = (4, -4, 0)$.

$|\vec{BD}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{MN} \cdot \vec{BD} = 2 \cdot 4 + 4 \cdot (-4) + (-3) \cdot 0 = 8 - 16 + 0 = -8$.

Вычислим косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{BD}|} = \frac{|-8|}{\sqrt{29} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{8}{4\sqrt{58}} = \frac{2}{\sqrt{58}} = \frac{2\sqrt{58}}{58} = \frac{\sqrt{58}}{29}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{58}}{29}$

в) MN и B?D

Найдем направляющий вектор $\vec{B_1D}$ и его длину:

$\vec{B_1D} = D - B_1 = (4-0, 0-4, 0-4) = (4, -4, -4)$.

$|\vec{B_1D}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{B_1D}$:

$\vec{MN} \cdot \vec{B_1D} = 2 \cdot 4 + 4 \cdot (-4) + (-3) \cdot (-4) = 8 - 16 + 12 = 4$.

Вычислим косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{B_1D}|}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{B_1D}|} = \frac{|4|}{\sqrt{29} \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{4}{4\sqrt{87}} = \frac{1}{\sqrt{87}} = \frac{\sqrt{87}}{87}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{87}}{87}$

г) MN и A?C

Найдем направляющий вектор $\vec{A_1C}$ и его длину:

$\vec{A_1C} = C - A_1 = (4-0, 4-0, 0-4) = (4, 4, -4)$.

$|\vec{A_1C}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{A_1C}$:

$\vec{MN} \cdot \vec{A_1C} = 2 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + (-3) \cdot (-4) = 8 + 16 + 12 = 36$.

Вычислим косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{A_1C}|}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{A_1C}|} = \frac{|36|}{\sqrt{29} \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{36}{4\sqrt{87}} = \frac{9}{\sqrt{87}} = \frac{9\sqrt{87}}{87}$.

Ответ: $\frac{9\sqrt{87}}{87}$