Номер 714, страница 179 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

714. Лучи ОА, ОВ и ОС образуют три прямых угла АОВ, АОС и ВОС. Найдите угол между биссектрисами углов СОА и АОВ.

Решение:

По условию задачи, лучи OA, OB и OC образуют три прямых угла: $\angle AOB = 90^\circ$, $\angle AOC = 90^\circ$ и $\angle BOC = 90^\circ$. Это означает, что лучи взаимно перпендикулярны.

Нам нужно найти угол между биссектрисой угла $\angle COA$ и биссектрисой угла $\angle AOB$. Обозначим биссектрису угла $\angle COA$ как луч OD, а биссектрису угла $\angle AOB$ как луч OE. Искомый угол — это $\angle DOE$.

Для нахождения этого угла воспользуемся геометрическим методом. Отложим на лучах OA, OB и OC от точки O отрезки одинаковой длины. Для простоты вычислений пусть их длина будет равна 1: $OA = OB = OC = 1$.

Рассмотрим треугольники, образованные этими отрезками.

В треугольнике $AOB$: он является прямоугольным ($\angle AOB = 90^\circ$) и равнобедренным ($OA = OB = 1$). Луч OE — это биссектриса угла $\angle AOB$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой. Таким образом, если мы рассмотрим точку E на отрезке AB, куда попадает биссектриса, то E будет серединой AB.

Аналогично, в треугольнике $AOC$: он является прямоугольным ($\angle AOC = 90^\circ$) и равнобедренным ($OA = OC = 1$). Луч OD — это биссектриса угла $\angle AOC$, которая также является медианой. Таким образом, точка D, где биссектриса пересекает отрезок AC, является серединой AC.

Теперь мы можем найти угол $\angle DOE$, рассмотрев треугольник $DOE$. Найдем длины всех его сторон.

1. Найдём длину стороны OE. В прямоугольном треугольнике $AOB$ отрезок $OE$ является медианой, проведенной к гипотенузе $AB$. Длина гипотенузы по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $OE = \frac{1}{2}AB = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдём длину стороны OD. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $AOC$ отрезок $OD$ является медианой к гипотенузе $AC$. Длина гипотенузы $AC = \sqrt{OA^2 + OC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Следовательно, $OD = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Найдём длину стороны DE. В треугольнике $ABC$ точки D и E являются серединами сторон AC и AB соответственно. Это означает, что отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна, то есть $DE = \frac{1}{2}BC$.

Чтобы найти $DE$, сначала найдем длину $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOC$ ($\angle BOC = 90^\circ$, $OB = 1$, $OC = 1$). По теореме Пифагора: $BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Теперь можем найти длину $DE$: $DE = \frac{1}{2}BC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, мы выяснили, что все три стороны треугольника $DOE$ имеют одинаковую длину: $OD = OE = DE = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это означает, что треугольник $DOE$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle DOE = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.