Номер 716, страница 179 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

716. В тетраэдре DABC DA = 5 см, AB = 4 см, АС = 3 см, ∠BAC = 90°, ∠DAB = 60°, ∠DAC = 45°. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника DBC.

Решение

Для решения этой задачи наиболее удобен векторный метод. Поместим вершину A в начало координат (0, 0, 0). Тогда векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ будут радиус-векторами вершин B, C и D соответственно.

Точка пересечения медиан треугольника (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть M — точка пересечения медиан треугольника DBC. Её радиус-вектор $\vec{AM}$ можно найти по формуле центра масс для вершин B, C и D:

$\vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD})$

Искомое расстояние от вершины A до точки M — это длина (модуль) вектора $\vec{AM}$.

$|\vec{AM}| = \left| \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}) \right| = \frac{1}{3} |\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}|$

Для нахождения модуля вектора найдем его квадрат. Квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора.

$|\vec{AM}|^2 = \left( \frac{1}{3} |\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}| \right)^2 = \frac{1}{9} (\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD})$

Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:

$|\vec{AM}|^2 = \frac{1}{9} (|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + |\vec{AD}|^2 + 2\vec{AB}\cdot\vec{AC} + 2\vec{AB}\cdot\vec{AD} + 2\vec{AC}\cdot\vec{AD})$

Теперь вычислим значения для каждого слагаемого, используя данные из условия задачи:

1. Квадраты модулей векторов:

• $|\vec{AB}|^2 = AB^2 = 4^2 = 16$
• $|\vec{AC}|^2 = AC^2 = 3^2 = 9$
• $|\vec{AD}|^2 = DA^2 = 5^2 = 25$

2. Скалярные произведения векторов (используя формулу $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$):

• $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) = 4 \cdot 3 \cdot \cos(90^\circ) = 12 \cdot 0 = 0$
• $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle DAB) = 4 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$
• $\vec{AC} \cdot \vec{AD} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle DAC) = 3 \cdot 5 \cdot \cos(45^\circ) = 15 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим все найденные значения в выражение для квадрата модуля вектора $\vec{AM}$:

$|\vec{AM}|^2 = \frac{1}{9} \left( 16 + 9 + 25 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 10 + 2 \cdot \frac{15\sqrt{2}}{2} \right)$

$|\vec{AM}|^2 = \frac{1}{9} (16 + 9 + 25 + 0 + 20 + 15\sqrt{2})$

$|\vec{AM}|^2 = \frac{1}{9} (50 + 20 + 15\sqrt{2})$

$|\vec{AM}|^2 = \frac{1}{9} (70 + 15\sqrt{2})$

Чтобы найти расстояние AM, извлечем квадратный корень из полученного выражения:

$|\vec{AM}| = \sqrt{\frac{70 + 15\sqrt{2}}{9}} = \frac{\sqrt{70 + 15\sqrt{2}}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{70 + 15\sqrt{2}}}{3}$ см.