Номер 712, страница 179 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

712. Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90°.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Введем в пространстве базис из трех взаимно перпендикулярных векторов, совпадающих с ребрами куба, выходящими из вершины $A$: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$ и $\vec{AA_1} = \vec{e}$.

По определению куба, эти векторы ортогональны друг другу, а их длины равны:

$|\vec{b}| = |\vec{d}| = |\vec{e}| = a$

$\vec{b} \cdot \vec{d} = 0$, $\vec{d} \cdot \vec{e} = 0$, $\vec{e} \cdot \vec{b} = 0$

Выберем одну из диагоналей куба, например, $AC_1$. Выразим вектор $\vec{AC_1}$ через базисные векторы. Для этого пройдем по ребрам из точки $A$ в точку $C_1$:

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1}$

Так как $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{d}$ и $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{e}$, получаем:

$\vec{AC_1} = \vec{b} + \vec{d} + \vec{e}$

Теперь выберем диагональ грани, которая скрещивается с диагональю куба $AC_1$. Скрещивающиеся прямые не должны пересекаться. Прямая, содержащая диагональ грани, будет пересекать прямую $AC_1$, если у них есть общая вершина. Поэтому нам нужна диагональ грани, которая не проходит через вершины $A$ или $C_1$. Возьмем, к примеру, диагональ $BD$ грани $ABCD$. Прямые $AC_1$ и $BD$ скрещиваются.

Выразим вектор $\vec{BD}$ через базисные векторы:

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{d} - \vec{b}$

Угол между скрещивающимися прямыми по определению равен углу между их направляющими векторами. Чтобы найти этот угол, вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{BD} = (\vec{b} + \vec{d} + \vec{e}) \cdot (\vec{d} - \vec{b})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{BD} = \vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{d} \cdot \vec{d} - \vec{d} \cdot \vec{b} + \vec{e} \cdot \vec{d} - \vec{e} \cdot \vec{b}$

Теперь подставим известные значения скалярных произведений и квадратов длин векторов:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{BD} = 0 - |\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2 - 0 + 0 - 0 = -a^2 + a^2 = 0$

Поскольку скалярное произведение направляющих векторов прямых равно нулю, эти векторы ортогональны. Следовательно, угол между прямыми, содержащими диагональ куба $AC_1$ и диагональ грани $BD$, равен $90^\circ$.

В силу высокой симметрии куба, выбор конкретной диагонали куба и конкретной скрещивающейся с ней диагонали грани не влияет на результат. Угол всегда будет равен $90^\circ$.

Ответ: Угол между указанными скрещивающимися прямыми равен $90^\circ$, что и требовалось доказать.