Номер 708, страница 179 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

708. В прямоугольном параллелепипеде

Найдите угол между прямыми:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Пусть $AB = a$. Из условия задачи $AB = BC$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его основание $ABCD$ является прямоугольником. Следовательно, $ABCD$ — квадрат со стороной $a$, то есть $AD = a$.

Также из условия $AB = \frac{1}{2}AA_1$, откуда следует, что высота параллелепипеда $AA_1 = 2a$.

Теперь определим координаты вершин, необходимых для решения:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $D(0, a, 0)$
• $C_1(a, a, 2a)$
• $D_1(0, a, 2a)$

Угол между двумя прямыми в пространстве можно найти как угол между их направляющими векторами. Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $BD$ и $CD_1$. Прямая $CD_1$ скрещивается с прямой $BD$.

Координаты вектора $\vec{BD}$:

$\vec{BD} = \{x_D - x_B; y_D - y_B; z_D - z_B\} = \{0 - a; a - 0; 0 - 0\} = \{-a; a; 0\}$.

Координаты вектора $\vec{CD_1}$:

$\vec{CD_1} = \{x_{D_1} - x_C; y_{D_1} - y_C; z_{D_1} - z_C\} = \{0 - a; a - a; 2a - 0\} = \{-a; 0; 2a\}$.

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{BD} \cdot \vec{CD_1} = (-a) \cdot (-a) + a \cdot 0 + 0 \cdot 2a = a^2$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$|\vec{CD_1}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.

Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между векторами, который и будет косинусом угла между прямыми:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{BD} \cdot \vec{CD_1}|}{|\vec{BD}| |\vec{CD_1}|} = \frac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Следовательно, искомый угол равен $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.

Прямые $AC$ и $AC_1$ пересекаются в точке $A$, поэтому угол между ними — это угол $\angle CAC_1$. Найдем его также с помощью векторов.

Координаты вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{a - 0; a - 0; 0 - 0\} = \{a; a; 0\}$.

Координаты вектора $\vec{AC_1}$:

$\vec{AC_1} = \{x_{C_1} - x_A; y_{C_1} - y_A; z_{C_1} - z_A\} = \{a - 0; a - 0; 2a - 0\} = \{a; a; 2a\}$.

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{AC_1} = a \cdot a + a \cdot a + 0 \cdot 2a = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + 4a^2} = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6}$.

Теперь найдем косинус угла $\beta$ между прямыми:

$\cos \beta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AC_1}}{|\vec{AC}| |\vec{AC_1}|} = \frac{2a^2}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{6}} = \frac{2a^2}{a^2\sqrt{12}} = \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, искомый угол равен $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.