Номер 701, страница 177 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

701. Докажите, что координаты ненулевого вектора a в прямоугольной системе координат равны

Решение

Если вектор a имеет координаты {х; у; z}, то a = xi + yj + zk. Умножив это равенство скалярно на i и используя свойства скалярного произведения, получим

С другой стороны, по определению скалярного произведения ai = | a| |i| cos φ₁ = |a| cos φ₁. Таким образом, x = |a| cos φ₁. Аналогично получаем равенства y = |a| cos φ₂, z = |a| cos φ₃.

Пусть ненулевой вектор $\vec{a}$ в прямоугольной системе координат имеет координаты $\{x; y; z\}$. Это означает, что вектор $\vec{a}$ можно представить в виде разложения по ортам (единичным векторам) координатных осей $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$:

$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

Здесь $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ — это ортонормированный базис, то есть единичные векторы, взаимно перпендикулярные друг другу. Их скалярные произведения обладают следующими свойствами:

$\vec{i} \cdot \vec{i} = |\vec{i}|^2 = 1^2 = 1$

$\vec{j} \cdot \vec{j} = |\vec{j}|^2 = 1^2 = 1$

$\vec{k} \cdot \vec{k} = |\vec{k}|^2 = 1^2 = 1$

$\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$, $\vec{i} \cdot \vec{k} = 0$, $\vec{j} \cdot \vec{k} = 0$

Чтобы найти координату $x$ вектора $\vec{a}$, умножим скалярно обе части равенства $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ на вектор $\vec{i}$:

$\vec{a} \cdot \vec{i} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{i}$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{i} = x(\vec{i} \cdot \vec{i}) + y(\vec{j} \cdot \vec{i}) + z(\vec{k} \cdot \vec{i})$

Подставляя значения скалярных произведений базисных векторов, имеем:

$\vec{a} \cdot \vec{i} = x(1) + y(0) + z(0) = x$

С другой стороны, по определению скалярного произведения, оно равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними. Обозначим угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{i}$ как $\varphi_1$. Тогда:

$\vec{a} \cdot \vec{i} = |\vec{a}| |\vec{i}| \cos \varphi_1$

Так как $\vec{i}$ — единичный вектор, его модуль $|\vec{i}| = 1$. Следовательно:

$\vec{a} \cdot \vec{i} = |\vec{a}| \cos \varphi_1$

Приравнивая два полученных выражения для скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{i}$, получаем:

$x = |\vec{a}| \cos \varphi_1$

Аналогично, чтобы найти координаты $y$ и $z$, умножим скалярно вектор $\vec{a}$ на векторы $\vec{j}$ и $\vec{k}$ соответственно.

Для координаты $y$ (угол между $\vec{a}$ и $\vec{j}$ равен $\varphi_2$):

$\vec{a} \cdot \vec{j} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{j} = x(\vec{i} \cdot \vec{j}) + y(\vec{j} \cdot \vec{j}) + z(\vec{k} \cdot \vec{j}) = x(0) + y(1) + z(0) = y$

И по определению:

$\vec{a} \cdot \vec{j} = |\vec{a}| |\vec{j}| \cos \varphi_2 = |\vec{a}| \cos \varphi_2$

Следовательно, $y = |\vec{a}| \cos \varphi_2$.

Для координаты $z$ (угол между $\vec{a}$ и $\vec{k}$ равен $\varphi_3$):

$\vec{a} \cdot \vec{k} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{k} = x(\vec{i} \cdot \vec{k}) + y(\vec{j} \cdot \vec{k}) + z(\vec{k} \cdot \vec{k}) = x(0) + y(0) + z(1) = z$

И по определению:

$\vec{a} \cdot \vec{k} = |\vec{a}| |\vec{k}| \cos \varphi_3 = |\vec{a}| \cos \varphi_3$

Следовательно, $z = |\vec{a}| \cos \varphi_3$.

Таким образом, мы доказали, что координаты $x, y, z$ ненулевого вектора $\vec{a}$ равны соответственно $|\vec{a}|\cos\varphi_1$, $|\vec{a}|\cos\varphi_2$ и $|\vec{a}|\cos\varphi_3$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Координаты вектора $\vec{a}=\{x;y;z\}$ являются проекциями этого вектора на оси координат. Проекция на ось $Ox$ равна $x$. С другой стороны, эта же проекция, по определению, равна $|\vec{a}|\cos\varphi_1$, где $\varphi_1$ - угол между вектором $\vec{a}$ и осью $Ox$ (вектором $\vec{i}$). Следовательно, $x=|\vec{a}|\cos\varphi_1$. Аналогично доказывается для координат $y$ и $z$, что $y=|\vec{a}|\cos\varphi_2$ и $z=|\vec{a}|\cos\varphi_3$.