Номер 703, страница 177 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

703. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AA₁ = AB = AD = 1, ∠DAB = 60°, ∠A₁AD = ∠A₁AB = 90°. Вычислите:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Из условий $\angle A_1AD = \angle A_1AB = 90^\circ$ следует, что ребро $AA_1$ перпендикулярно ребрам $AD$ и $AB$, а значит, и всей плоскости основания $ABCD$. Основание $ABCD$ является ромбом, так как $AB=AD=1$ и $\angle DAB = 60^\circ$.

Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль вектора $\vec{AB}$, а ось $Oz$ вдоль вектора $\vec{AA_1}$. Ось $Oy$ будет лежать в плоскости основания $ABCD$.

Найдем координаты вершин параллелепипеда:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(1, 0, 0)$ (т.к. $AB=1$ и $\vec{AB}$ сонаправлен с $Ox$)
• $D(1 \cdot \cos 60^\circ, 1 \cdot \sin 60^\circ, 0) = D(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$, поэтому $C = B + D - A = (1+\frac{1}{2}, 0+\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = C(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $A_1(0, 0, 1)$ (т.к. $AA_1=1$ и $\vec{AA_1}$ сонаправлен с $Oz$)
• $B_1(1, 0, 1)$
• $C_1(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
• $D_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Теперь, имея координаты всех вершин, мы можем вычислить требуемые величины.

а) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{D_1C_1}$.
Найдем координаты векторов:
$\vec{BA} = A - B = (0-1, 0-0, 0-0) = (-1, 0, 0)$.
В параллелепипеде $\vec{D_1C_1} = \vec{AB}$. Координаты вектора $\vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1, 0, 0)$.
Следовательно, $\vec{D_1C_1} = (1, 0, 0)$.
Скалярное произведение: $\vec{BA} \cdot \vec{D_1C_1} = (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -1$.

Ответ: -1

б) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BC_1}$ и $\vec{D_1B}$.
Найдем координаты векторов:
$\vec{BC_1} = C_1 - B = (\frac{3}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
$\vec{D_1B} = B - D_1 = (1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-1) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$.
Скалярное произведение: $\vec{BC_1} \cdot \vec{D_1B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1 \cdot (-1) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 1 = -\frac{2}{4} - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$

в) Вычислим $\vec{AC_1} \cdot \vec{AC_1}$. Это выражение равно квадрату длины вектора $\vec{AC_1}$.
Найдем координаты вектора $\vec{AC_1}$:
$\vec{AC_1} = C_1 - A = (\frac{3}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
Тогда $\vec{AC_1} \cdot \vec{AC_1} = |\vec{AC_1}|^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2 = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1 = \frac{12}{4} + 1 = 3 + 1 = 4$.

Ответ: 4

г) Вычислим $|\vec{DB_1}|$, то есть длину вектора $\vec{DB_1}$.
Найдем координаты вектора $\vec{DB_1}$:
$\vec{DB_1} = B_1 - D = (1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
Длина вектора: $|\vec{DB_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

д) Вычислим $|\vec{A_1C}|$, то есть длину вектора $\vec{A_1C}$.
Найдем координаты вектора $\vec{A_1C}$:
$\vec{A_1C} = C - A_1 = (\frac{3}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-1) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$.
Длина вектора: $|\vec{A_1C}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2

e) Вычислим $\cos(\widehat{\vec{DA_1}, \vec{D_1B}})$.
Косинус угла между векторами находится по формуле $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
Найдем векторы и их длины:
$\vec{DA_1} = A_1 - D = (0-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
$|\vec{DA_1}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+1} = \sqrt{2}$.
$\vec{D_1B} = B - D_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$ (вектор найден в пункте б)).
$|\vec{D_1B}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+1} = \sqrt{2}$.
Скалярное произведение: $\vec{DA_1} \cdot \vec{D_1B} = (-\frac{1}{2})\cdot\frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1\cdot(-1) = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{2}{4} - 1 = -\frac{1}{2}$.
Косинус угла: $\cos(\widehat{\vec{DA_1}, \vec{D_1B}}) = \frac{-1/2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1/2}{2} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$

ж) Вычислим $\cos(\widehat{\vec{AC_1}, \vec{DB_1}})$.
Используем те же векторы, что и в предыдущих пунктах.
$\vec{AC_1} = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$, $|\vec{AC_1}| = 2$ (из пункта в)).
$\vec{DB_1} = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$, $|\vec{DB_1}| = \sqrt{2}$ (из пункта г)).
Найдем их скалярное произведение:
$\vec{AC_1} \cdot \vec{DB_1} = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1\cdot 1 = \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + 1 = 1$.
Косинус угла: $\cos(\widehat{\vec{AC_1}, \vec{DB_1}}) = \frac{1}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{DB_1}|} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$