Номер 718, страница 179 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

718. Проекция точки K на плоскость квадрата ABCD совпадает с центром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми АK и BD равен 90°.

Доказательство:

Пусть O - центр квадрата ABCD. По определению, O является точкой пересечения его диагоналей AC и BD.

По условию задачи, проекция точки K на плоскость квадрата (обозначим ее как (ABC)) совпадает с центром O. Это означает, что отрезок KO является перпендикуляром, опущенным из точки K на плоскость (ABC). Следовательно, прямая KO перпендикулярна плоскости (ABC): $KO \perp (ABC)$.

Рассмотрим прямую AK. Так как точка K не лежит в плоскости (ABC), а точка A лежит в этой плоскости, то AK является наклонной к плоскости (ABC). Прямая AO является проекцией наклонной AK на плоскость (ABC), так как O — проекция точки K, а A — проекция самой себя.

Поскольку ABCD - это квадрат, его диагонали AC и BD по свойству квадрата взаимно перпендикулярны. Это означает, что $AC \perp BD$.

Так как проекция наклонной AK, то есть прямая AO, лежит на диагонали AC, то прямая AO также перпендикулярна прямой BD ($AO \perp BD$).

Теперь применим теорему о трех перпендикулярах. Одна из формулировок теоремы гласит: прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.

В нашей задаче:

• Наклонная: прямая AK.
• Плоскость: плоскость квадрата (ABC).
• Проекция наклонной на плоскость: прямая AO.
• Прямая в плоскости: прямая BD.

Мы установили, что прямая BD, лежащая в плоскости (ABC), перпендикулярна проекции AO ($BD \perp AO$). Согласно теореме о трех перпендикулярах, из этого следует, что прямая BD перпендикулярна и самой наклонной AK. Таким образом, $BD \perp AK$.

Перпендикулярность прямых означает, что угол между ними равен 90°. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми AK и BD равен 90°. Что и требовалось доказать.

Ответ: Угол между прямыми AK и BD равен 90°.