Номер 693, страница 176 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

693. Вычислите углы между вектором a{2; 1; 2} и координатными векторами.

Для нахождения углов между вектором $\vec{a}\{2; 1; 2\}$ и координатными векторами (ортами) $\vec{i}\{1; 0; 0\}$, $\vec{j}\{0; 1; 0\}$ и $\vec{k}\{0; 0; 1\}$, воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами. Косинусы углов между вектором и осями координат называются направляющими косинусами.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Для угла $\alpha$ между вектором $\vec{a}\{a_x; a_y; a_z\}$ и координатным вектором $\vec{i}\{1; 0; 0\}$, формула упрощается до:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{i}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{i}|} = \frac{a_x \cdot 1 + a_y \cdot 0 + a_z \cdot 0}{|\vec{a}| \cdot 1} = \frac{a_x}{|\vec{a}|}$

Аналогично для углов $\beta$ с вектором $\vec{j}$ и $\gamma$ с вектором $\vec{k}$:

$\cos \beta = \frac{a_y}{|\vec{a}|}$, $\cos \gamma = \frac{a_z}{|\vec{a}|}$

Сначала найдем модуль (длину) вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь можем вычислить каждый угол.

Угол между вектором $\vec{a}$ и координатным вектором $\vec{i}$

Пусть этот угол равен $\alpha$. Его косинус:

$\cos \alpha = \frac{a_x}{|\vec{a}|} = \frac{2}{3}$.

Следовательно, угол $\alpha = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)$.

Угол между вектором $\vec{a}$ и координатным вектором $\vec{j}$

Пусть этот угол равен $\beta$. Его косинус:

$\cos \beta = \frac{a_y}{|\vec{a}|} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, угол $\beta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Угол между вектором $\vec{a}$ и координатным вектором $\vec{k}$

Пусть этот угол равен $\gamma$. Его косинус:

$\cos \gamma = \frac{a_z}{|\vec{a}|} = \frac{2}{3}$.

Следовательно, угол $\gamma = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)$.

Ответ: углы между вектором $\vec{a}$ и координатными векторами $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$ равны соответственно $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$, $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$ и $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$.