Номер 683, страница 176 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

683. Угол между векторами AB и CD равен φ. Найдите углы

По условию задачи, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равен $\phi$. Обозначим этот угол как $(\widehat{\vec{AB}, \vec{CD}}) = \phi$.

Для нахождения искомых углов воспользуемся основными свойствами векторов и углов между ними. Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Аналогично, $\vec{DC} = -\vec{CD}$.

Угол между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и угол между противоположными им векторами $-\vec{a}$ и $-\vec{b}$ равны: $(\widehat{-\vec{a}, -\vec{b}}) = (\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Угол между вектором $\vec{a}$ и вектором $-\vec{b}$, противоположным вектору $\vec{b}$, является смежным с углом между $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть их сумма равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан): $(\widehat{\vec{a}, -\vec{b}}) = 180^\circ - (\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{DC}$

Нам необходимо найти угол $(\widehat{\vec{BA}, \vec{DC}})$. Мы заменяем оба исходных вектора на противоположные:

$\vec{BA} = -\vec{AB}$

$\vec{DC} = -\vec{CD}$

Угол между двумя векторами равен углу между двумя противоположными им векторами. Геометрически это можно представить как вертикальные углы, образуемые при пересечении прямых, на которых лежат векторы.

Следовательно, $(\widehat{\vec{BA}, \vec{DC}}) = (\widehat{-\vec{AB}, -\vec{CD}}) = (\widehat{\vec{AB}, \vec{CD}}) = \phi$.

Ответ: $\phi$.

Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$

Нам необходимо найти угол $(\widehat{\vec{BA}, \vec{CD}})$. В этом случае мы заменяем только один вектор $\vec{AB}$ на противоположный ему $\vec{BA}$, а вектор $\vec{CD}$ оставляем без изменений.

Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ будет смежным с углом между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

Таким образом, $(\widehat{\vec{BA}, \vec{CD}}) = (\widehat{-\vec{AB}, \vec{CD}}) = 180^\circ - (\widehat{\vec{AB}, \vec{CD}}) = 180^\circ - \phi$. Если угол измеряется в радианах, то он равен $\pi - \phi$.

Ответ: $180^\circ - \phi$ (или $\pi - \phi$).

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$

Нам необходимо найти угол $(\widehat{\vec{AB}, \vec{DC}})$. Этот случай аналогичен предыдущему. Вектор $\vec{AB}$ остается прежним, а вектор $\vec{CD}$ заменяется на противоположный ему вектор $\vec{DC}$.

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ будет смежным с углом между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

Таким образом, $(\widehat{\vec{AB}, \vec{DC}}) = (\widehat{\vec{AB}, -\vec{CD}}) = 180^\circ - (\widehat{\vec{AB}, \vec{CD}}) = 180^\circ - \phi$. Если угол измеряется в радианах, то он равен $\pi - \phi$.

Ответ: $180^\circ - \phi$ (или $\pi - \phi$).