Номер 728, страница 185 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

728. Докажите, что при движении: а) отрезок отображается на отрезок; б) угол отображается на равный ему угол.

а) отрезок отображается на отрезок;

Пусть дано движение (изометрия) $f$ и отрезок $AB$. По определению, движение — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Пусть движение $f$ отображает концы отрезка $A$ и $B$ в точки $A'$ и $B'$ соответственно. Тогда по определению движения длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A'B'$: $AB = A'B'$.

Нам необходимо доказать, что образом отрезка $AB$ при движении $f$ является в точности отрезок $A'B'$. Доказательство проведём в два этапа.

1. Докажем, что любая точка отрезка $AB$ переходит в точку отрезка $A'B'$.
Пусть $C$ — произвольная точка, принадлежащая отрезку $AB$. Это означает, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$, и для длин отрезков выполняется равенство: $AC + CB = AB$. Пусть движение $f$ отображает точку $C$ в точку $C'$. Так как движение сохраняет расстояния, то $AC = A'C'$ и $CB = C'B'$. Мы уже знаем, что $AB = A'B'$. Подставив эти равенства в предыдущее, получим: $A'C' + C'B' = A'B'$. Это равенство является признаком того, что точка $C'$ лежит на прямой, проходящей через $A'$ и $B'$, и находится между ними. Следовательно, точка $C'$ принадлежит отрезку $A'B'$.

2. Докажем, что любая точка отрезка $A'B'$ является образом некоторой точки отрезка $AB$.
Пусть $D'$ — произвольная точка отрезка $A'B'$. Тогда для неё выполняется равенство $A'D' + D'B' = A'B'$. Движение является обратимым преобразованием, поэтому для точки $D'$ существует единственная точка-прообраз $D$ такая, что $f(D) = D'$. Докажем, что эта точка $D$ лежит на отрезке $AB$. По определению движения, $A'D' = AD$, $D'B' = DB$ и $A'B' = AB$. Подставим эти соотношения в равенство для точки $D'$: $AD + DB = AB$. Это означает, что точка $D$ лежит на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, и находится между ними, то есть $D$ принадлежит отрезку $AB$.

Таким образом, мы доказали, что движение отображает множество всех точек отрезка $AB$ на множество всех точек отрезка $A'B'$. Следовательно, при движении отрезок отображается на отрезок.

Ответ: Утверждение доказано. При движении любая точка исходного отрезка отображается в точку нового отрезка, и любая точка нового отрезка является образом некоторой точки исходного, что доказывает, что отрезок отображается на отрезок.

б) угол отображается на равный ему угол.

Пусть дан угол $\angle BAC$, образованный лучами $AB$ и $AC$, выходящими из общей вершины $A$. Пусть $f$ — движение.

При движении $f$ точки $A, B, C$ отображаются в точки $A', B', C'$ соответственно. Как было показано в пункте а), отрезок $AB$ отображается на отрезок $A'B'$, а отрезок $AC$ — на отрезок $A'C'$. Поскольку движение сохраняет коллинеарность и порядок точек на прямой, луч $AB$ отображается на луч $A'B'$, а луч $AC$ — на луч $A'C'$. Следовательно, фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной (угол $\angle BAC$), отображается на фигуру, также образованную двумя лучами с общей вершиной (угол $\angle B'A'C'$). Таким образом, образом угла является угол.

Теперь докажем, что величина (градусная мера) угла при этом сохраняется, то есть $\angle BAC = \angle B'A'C'$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ и его образ при движении $f$ — треугольник $\triangle A'B'C'$. По определению движения, расстояния между точками сохраняются, поэтому:

• $AB = A'B'$
• $AC = A'C'$
• $BC = B'C'$

Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. Угол $\angle BAC$ в треугольнике $\triangle ABC$ является соответственным углу $\angle B'A'C'$ в треугольнике $\triangle A'B'C'$. Поэтому их величины равны: $\angle BAC = \angle B'A'C'$.

Ответ: Утверждение доказано. При движении угол отображается на угол, и на основании равенства треугольников, построенных на сторонах углов, доказывается, что величина нового угла равна величине исходного.