Номер 5, страница 186 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

5. Первая и вторая координаты ненулевого вектора a равны нулю. Как расположен вектор a по отношению к оси: а) Оz; б) Ох; в) Оу?

Пусть вектор $\vec{a}$ задан в трехмерной прямоугольной системе координат своими координатами $(a_x, a_y, a_z)$. Из условия задачи известно, что первая и вторая координаты вектора равны нулю. Это означает, что $a_x = 0$ и $a_y = 0$. Следовательно, вектор $\vec{a}$ имеет вид $(0, 0, a_z)$.

Также дано, что вектор $\vec{a}$ является ненулевым. Модуль (длина) вектора $\vec{a}$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$. Поскольку вектор ненулевой, его модуль не равен нулю: $|\vec{a}| \neq 0$. Подставив известные координаты, получаем: $|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a_z^2} = \sqrt{a_z^2} = |a_z|$. Из условия $|\vec{a}| \neq 0$ следует, что $|a_z| \neq 0$, а значит, третья координата $a_z$ не равна нулю ($a_z \neq 0$).

Теперь определим расположение вектора $\vec{a}=(0, 0, a_z)$ по отношению к координатным осям.

а) по отношению к оси Oz
Направляющим вектором оси $Oz$ является единичный вектор $\vec{k} = (0, 0, 1)$. Вектор $\vec{a}$ можно представить в виде $\vec{a} = (0, 0, a_z) = a_z \cdot (0, 0, 1) = a_z \vec{k}$. Поскольку вектор $\vec{a}$ является произведением скаляра $a_z$ на направляющий вектор оси $Oz$, то вектор $\vec{a}$ коллинеарен (параллелен) оси $Oz$. Если начало вектора $\vec{a}$ находится в начале координат, то он лежит непосредственно на оси $Oz$.
Ответ: Вектор $\vec{a}$ коллинеарен оси $Oz$.

б) по отношению к оси Ox
Направляющим вектором оси $Ox$ является единичный вектор $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Чтобы определить взаимное расположение векторов, можно найти их скалярное произведение. Если оно равно нулю, векторы перпендикулярны. $\vec{a} \cdot \vec{i} = (0 \cdot 1) + (0 \cdot 0) + (a_z \cdot 0) = 0 + 0 + 0 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, вектор $\vec{a}$ перпендикулярен вектору $\vec{i}$, а значит, и всей оси $Ox$.
Ответ: Вектор $\vec{a}$ перпендикулярен оси $Ox$.

в) по отношению к оси Oy
Направляющим вектором оси $Oy$ является единичный вектор $\vec{j} = (0, 1, 0)$. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{j}$: $\vec{a} \cdot \vec{j} = (0 \cdot 0) + (0 \cdot 1) + (a_z \cdot 0) = 0 + 0 + 0 = 0$. Скалярное произведение равно нулю, следовательно, вектор $\vec{a}$ перпендикулярен вектору $\vec{j}$ и всей оси $Oy$.
Ответ: Вектор $\vec{a}$ перпендикулярен оси $Oy$.