Номер 9, страница 186 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

9. Длина вектора a равна 3. Может ли одна из координат вектора a равняться: а) 3; б) 5?

Длина (или модуль) вектора $\vec{a}$ с координатами $(x_1, x_2, ..., x_n)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}$. По условию задачи, длина вектора $|\vec{a}| = 3$. Возведя обе части в квадрат, получаем уравнение, связывающее координаты вектора: $x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 3^2 = 9$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

а)

Предположим, что одна из координат, например $x_1$, равна 3. Подставим это значение в уравнение для квадрата длины вектора:

$3^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 9$

$9 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 9$

Вычитая 9 из обеих частей, получаем:

$x_2^2 + ... + x_n^2 = 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x_i^2 \ge 0$), сумма квадратов может быть равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю. То есть, $x_2 = 0, x_3 = 0, ..., x_n = 0$.

Это означает, что существует такой вектор. Например, в трехмерном пространстве это вектор $\vec{a} = (3, 0, 0)$ или $\vec{a} = (0, 3, 0)$. Длина такого вектора будет равна $\sqrt{3^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$, что соответствует условию. Следовательно, одна из координат вектора $\vec{a}$ может быть равна 3.

Ответ: Да, может.

б)

Предположим, что одна из координат, например $x_1$, равна 5. Подставим это значение в уравнение для квадрата длины вектора:

$5^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 9$

$25 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 9$

Выразим сумму квадратов остальных координат:

$x_2^2 + ... + x_n^2 = 9 - 25$

$x_2^2 + ... + x_n^2 = -16$

Сумма квадратов действительных чисел не может быть отрицательным числом. Мы получили противоречие. Следовательно, наше предположение о том, что координата может быть равна 5, неверно.

В качестве альтернативного рассуждения можно заметить, что для любой координаты $x_i$ должно выполняться неравенство $x_i^2 \le x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2$. В нашем случае $x_i^2 \le 9$, что эквивалентно $|x_i| \le 3$. Координата, равная 5, не удовлетворяет этому условию, так как $|5| = 5 > 3$.

Ответ: Нет, не может.