Номер 12, страница 186 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

12. При каком условии скалярное произведение векторов a и b: а) положительно; б) отрицательно; в) равно нулю?

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними. Так как длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда являются неотрицательными величинами, знак скалярного произведения для ненулевых векторов полностью определяется знаком косинуса угла между ними, $\cos(\alpha)$.

а) положительно
Скалярное произведение будет положительным, если $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$. Для ненулевых векторов это означает, что $\cos(\alpha) > 0$. Косинус положителен, если угол $\alpha$ является острым, то есть находится в диапазоне $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$ (или $0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$ в радианах).
Ответ: скалярное произведение положительно, если угол между векторами острый.

б) отрицательно
Скалярное произведение будет отрицательным, если $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$. Для ненулевых векторов это означает, что $\cos(\alpha) < 0$. Косинус отрицателен, если угол $\alpha$ является тупым, то есть находится в диапазоне $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$ (или $\frac{\pi}{2} < \alpha \le \pi$ в радианах).
Ответ: скалярное произведение отрицательно, если угол между векторами тупой.

в) равно нулю
Скалярное произведение равно нулю, если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Исходя из формулы $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha) = 0$, это равенство выполняется в двух основных случаях:
1. Хотя бы один из векторов является нулевым, то есть его длина равна нулю ($|\vec{a}| = 0$ или $|\vec{b}| = 0$).
2. Если оба вектора ненулевые, то для равенства нулю необходимо, чтобы $\cos(\alpha) = 0$. Это условие выполняется, когда угол $\alpha$ прямой, то есть $\alpha = 90^\circ$ (или $\alpha = \frac{\pi}{2}$ в радианах). Такие векторы называются перпендикулярными или ортогональными.
Ответ: скалярное произведение равно нулю, если векторы перпендикулярны (ортогональны), или хотя бы один из векторов является нулевым.