Номер 16, страница 186 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Как расположена плоскость по отношению к осям координат Ох и Oz, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости точка М(2; 1; 3) переходит в точку М₁(2; −2; 3)?

Пусть искомая плоскость симметрии называется $P$. По определению зеркальной симметрии, плоскость $P$ является перпендикулярным биссектором отрезка, соединяющего исходную точку $M(2; 1; 3)$ и ее образ $M_1(2; -2; 3)$. Это означает, что плоскость $P$ проходит через середину отрезка $MM_1$, и вектор $\vec{MM_1}$ является вектором нормали к этой плоскости.

Для нахождения уравнения плоскости и ее положения выполним следующие шаги:

1. Нахождение точки на плоскости.
Плоскость проходит через середину $K$ отрезка $MM_1$. Вычислим ее координаты по формуле середины отрезка:

$K = \left( \frac{x_M+x_{M_1}}{2}; \frac{y_M+y_{M_1}}{2}; \frac{z_M+z_{M_1}}{2} \right) = \left( \frac{2+2}{2}; \frac{1+(-2)}{2}; \frac{3+3}{2} \right) = \left( 2; -0.5; 3 \right)$

Таким образом, точка $K(2; -0.5; 3)$ принадлежит искомой плоскости.

2. Нахождение вектора нормали.
Вектор $\vec{MM_1}$ перпендикулярен плоскости $P$, поэтому его можно использовать в качестве вектора нормали $\vec{n}$:

$\vec{n} = \vec{MM_1} = (x_{M_1}-x_M; y_{M_1}-y_M; z_{M_1}-z_M) = (2-2; -2-1; 3-3) = (0; -3; 0)$

Для удобства можно взять любой коллинеарный вектор, например, разделив координаты на $-3$, получим вектор нормали $\vec{n_1} = (0; 1; 0)$.

3. Составление уравнения плоскости.
Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$. Подставим координаты точки $K(2; -0.5; 3)$ и вектора нормали $\vec{n_1}=(0; 1; 0)$:

$0 \cdot (x-2) + 1 \cdot (y - (-0.5)) + 0 \cdot (z-3) = 0$

$y + 0.5 = 0$

Отсюда получаем уравнение плоскости: $y = -0.5$.

4. Анализ расположения плоскости относительно осей $Ox$ и $Oz$.
Уравнение $y = -0.5$ задает плоскость, у всех точек которой координата $y$ постоянна и равна $-0.5$, в то время как координаты $x$ и $z$ могут принимать любые значения. Такая плоскость параллельна координатной плоскости $xOz$.
Ось $Ox$ задается уравнениями $y=0$ и $z=0$. Поскольку на этой оси $y=0$, а на плоскости $y=-0.5$, ось $Ox$ не пересекает плоскость и, следовательно, параллельна ей.
Ось $Oz$ задается уравнениями $x=0$ и $y=0$. Аналогично, на этой оси $y=0$, поэтому ось $Oz$ не пересекает плоскость и параллельна ей.

Ответ: Искомая плоскость параллельна осям координат $Ox$ и $Oz$.