Номер 734, страница 187 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

734. Компланарны ли векторы:

а) Три вектора являются компланарными, если их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами, равно определителю матрицы, составленной из этих координат.
Найдем координаты заданных векторов. Первый вектор $\vec{a}\{-1; 2; 3\}$.
Второй вектор (обозначим его $\vec{b}$): $\vec{b} = \vec{i}+\vec{j} = \{1; 1; 0\}$.
Третий вектор (обозначим его $\vec{c}$): $\vec{c} = \vec{i}-\vec{k} = \{1; 0; -1\}$.
Теперь вычислим смешанное произведение $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ как определитель матрицы:
$ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -1(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) - 2(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) + 3(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = -1(-1) - 2(-1) + 3(-1) = 1 + 2 - 3 = 0 $
Поскольку смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны.
Ответ: Да, векторы компланарны.

б) Аналогично проверим компланарность данных векторов через их смешанное произведение.
Найдем координаты векторов. Первый вектор (в задаче обозначен $\vec{b}$, назовем его $\vec{d}$ для ясности): $\vec{d}\{2; 1; 1,5\}$.
Второй вектор (назовем $\vec{e}$): $\vec{e} = \vec{i}+\vec{j}+\vec{k} = \{1; 1; 1\}$.
Третий вектор (назовем $\vec{f}$): $\vec{f} = \vec{i}-\vec{j} = \{1; -1; 0\}$.
Вычислим определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:
$ (\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1,5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 2(1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) - 1(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + 1,5(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) = 2(1) - 1(-1) + 1,5(-2) = 2 + 1 - 3 = 0 $
Так как смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны.
Ответ: Да, векторы компланарны.

в) Проверим на компланарность векторы $\vec{a}\{1; 1; 1\}$, $\vec{b}\{1; -1; 2\}$ и $\vec{c}\{2; 3; -1\}$, вычислив их смешанное произведение.
Составим матрицу из координат векторов и найдем ее определитель:
$ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 1((-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 3) - 1(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2) + 1(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 2) = 1(1-6) - 1(-1-4) + 1(3+2) = -5 - (-5) + 5 = -5 + 5 + 5 = 5 $
Поскольку смешанное произведение не равно нулю ($5 \neq 0$), векторы не являются компланарными.
Ответ: Нет, векторы не компланарны.