Номер 737, страница 187 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

737. Даны координаты четырёх вершин параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁: А(3; 0; 2), В(2; 4; 5), А₁(5; 3; 1), D(7; 1; 2). Найдите координаты остальных вершин.

Для нахождения координат неизвестных вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся его свойствами. Грани параллелепипеда являются параллелограммами, а боковые рёбра, не принадлежащие одному основанию, параллельны и равны. Это приводит к следующим векторным равенствам: $\vec{AD} = \vec{BC}$, $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

Даны координаты вершин: $A(3; 0; 2)$, $B(2; 4; 5)$, $A_1(5; 3; 1)$, $D(7; 1; 2)$. Неизвестными остаются вершины $C$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$.

C

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, для него справедливо правило сложения векторов, соответствующее его вершинам: $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$, где $O$ — начало координат. Отсюда можно выразить радиус-вектор точки $C$: $\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD} - \vec{OA}$. Подставим координаты известных вершин для нахождения координат точки $C(x_C; y_C; z_C)$:
$x_C = x_B + x_D - x_A = 2 + 7 - 3 = 6$
$y_C = y_B + y_D - y_A = 4 + 1 - 0 = 5$
$z_C = z_B + z_D - z_A = 5 + 2 - 2 = 5$
Также можно использовать равенство векторов $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Сначала найдем координаты вектора $\vec{AD}$:
$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (7 - 3; 1 - 0; 2 - 2) = (4; 1; 0)$.
Теперь, зная, что $\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B)$, приравняем его к $\vec{AD}$:
$x_C - 2 = 4 \implies x_C = 6$.
$y_C - 4 = 1 \implies y_C = 5$.
$z_C - 5 = 0 \implies z_C = 5$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $C(6; 5; 5)$

Для нахождения координат вершин верхнего основания ($B_1, C_1, D_1$) определим вектор сдвига $\vec{v}$, который равен вектору $\vec{AA_1}$ и переводит нижнее основание в верхнее.
$\vec{v} = \vec{AA_1} = (x_{A1} - x_A; y_{A1} - y_A; z_{A1} - z_A) = (5 - 3; 3 - 0; 1 - 2) = (2; 3; -1)$.
Координаты любой вершины верхнего основания можно найти, прибавив вектор $\vec{v}$ к координатам соответствующей вершины нижнего основания.

B?

Координаты вершины $B_1$ находим, прибавляя вектор сдвига $\vec{v}$ к координатам вершины $B$:
$\vec{OB_1} = \vec{OB} + \vec{v}$.
$x_{B1} = x_B + v_x = 2 + 2 = 4$
$y_{B1} = y_B + v_y = 4 + 3 = 7$
$z_{B1} = z_B + v_z = 5 + (-1) = 4$
Ответ: $B_1(4; 7; 4)$

C?

Координаты вершины $C_1$ находим, прибавляя вектор сдвига $\vec{v}$ к координатам вершины $C(6; 5; 5)$:
$\vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{v}$.
$x_{C1} = x_C + v_x = 6 + 2 = 8$
$y_{C1} = y_C + v_y = 5 + 3 = 8$
$z_{C1} = z_C + v_z = 5 + (-1) = 4$
Ответ: $C_1(8; 8; 4)$

D?

Координаты вершины $D_1$ находим, прибавляя вектор сдвига $\vec{v}$ к координатам вершины $D$:
$\vec{OD_1} = \vec{OD} + \vec{v}$.
$x_{D1} = x_D + v_x = 7 + 2 = 9$
$y_{D1} = y_D + v_y = 1 + 3 = 4$
$z_{D1} = z_D + v_z = 2 + (-1) = 1$
Ответ: $D_1(9; 4; 1)$