Номер 744, страница 187 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

744. Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами А(0; 2; 2), В(2; 1; 1), С(2; 2; 2).

Центр описанной окружности — это точка $O(x; y; z)$, равноудаленная от всех вершин треугольника. Это означает, что расстояния от точки $O$ до точек $A$, $B$ и $C$ равны. Математически это выражается как $OA = OB = OC$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $OA^2 = OB^2 = OC^2$.

Даны координаты вершин треугольника: $A(0; 2; 2)$, $B(2; 1; 1)$, $C(2; 2; 2)$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ в пространстве имеет вид: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Запишем квадраты расстояний от искомой точки $O(x; y; z)$ до каждой из вершин:

$OA^2 = (x-0)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = x^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2$

$OB^2 = (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2$

$OC^2 = (x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2$

Теперь составим систему уравнений, приравняв квадраты расстояний.

1. Из равенства $OA^2 = OC^2$ получаем:

$x^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = (x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2$

Сократив одинаковые слагаемые $(y-2)^2$ и $(z-2)^2$, получим:

$x^2 = (x-2)^2$

$x^2 = x^2 - 4x + 4$

$4x = 4$

$x = 1$

2. Из равенства $OB^2 = OC^2$ получаем:

$(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = (x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2$

Сократив одинаковое слагаемое $(x-2)^2$, получим:

$(y-1)^2 + (z-1)^2 = (y-2)^2 + (z-2)^2$

Раскроем скобки:

$y^2 - 2y + 1 + z^2 - 2z + 1 = y^2 - 4y + 4 + z^2 - 4z + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$-2y - 2z + 2 = -4y - 4z + 8$

$2y + 2z = 6$

$y + z = 3$

Полученные два уравнения, $x = 1$ и $y + z = 3$, определяют прямую в пространстве, все точки которой равноудалены от вершин $A$, $B$ и $C$. Однако, центр описанной окружности должен также лежать в плоскости самого треугольника $ABC$. Найдем уравнение этой плоскости.

Для этого определим два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} = (2-0; 1-2; 1-2) = (2; -1; -1)$

$\vec{AC} = (2-0; 2-2; 2-2) = (2; 0; 0)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости треугольника перпендикулярен обоим этим векторам и может быть найден с помощью их векторного произведения:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1) \cdot 0 - (-1) \cdot 0) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot 0 - (-1) \cdot 2) = (0; -2; 2)$

Для упрощения можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на 2: $\vec{n'} = (0; -1; 1)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(0; 2; 2)$ с нормальным вектором $\vec{n'} = (0; -1; 1)$, имеет вид:

$0(x-0) - 1(y-2) + 1(z-2) = 0$

$-y + 2 + z - 2 = 0$

$z - y = 0$ или $y = z$

Теперь у нас есть система из трех уравнений для нахождения координат центра $O(x; y; z)$:

$\begin{cases} x = 1 \\ y + z = 3 \\ y = z \end{cases}$

Подставим $y=z$ из третьего уравнения во второе:

$y + y = 3$

$2y = 3$

$y = 1,5$

Поскольку $y=z$, то $z = 1,5$.

Таким образом, координаты центра описанной окружности: $(1; 1,5; 1,5)$.

Ответ: $(1; 1,5; 1,5)$