Номер 747, страница 187 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

747. Вершины треугольника ABC расположены по одну сторону от плоскости α и находятся от этой плоскости на расстояниях 4 дм, 5 дм и 9 дм. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до плоскости α.

Пусть $A, B, C$ — вершины треугольника, а $M$ — точка пересечения его медиан (центроид). Плоскость обозначим как $\alpha$. По условию, все вершины находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$. Расстояния от вершин до плоскости равны $h_A = 4$ дм, $h_B = 5$ дм и $h_C = 9$ дм. Нам нужно найти расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$, которое мы обозначим как $h_M$.

Для решения задачи можно использовать свойство, что расстояние от центроида треугольника до плоскости, не пересекающей его, равно среднему арифметическому расстояний от его вершин до этой плоскости. Докажем это свойство и найдем искомое расстояние.

1. Возьмем медиану, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Пусть $K$ — середина стороны $BC$. Опустим из точек $B, C, K$ перпендикуляры на плоскость $\alpha$. Так как все перпендикуляры к одной плоскости параллельны, а $K$ — середина отрезка $BC$, то отрезок, соединяющий точку $K$ с ее проекцией на плоскость $\alpha$, является средней линией трапеции, образованной перпендикулярами из $B$ и $C$ и их проекциями. Длина этого перпендикуляра (расстояние $h_K$ от точки $K$ до плоскости $\alpha$) равна полусумме длин перпендикуляров из $B$ и $C$: $h_K = \frac{h_B + h_C}{2}$

Подставив числовые значения, получим: $h_K = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$ дм.

2. Центроид $M$ лежит на медиане $AK$ и делит ее в отношении $AM:MK = 2:1$, считая от вершины $A$. Теперь рассмотрим трапецию, образованную перпендикулярами из точек $A$ и $K$ на плоскость $\alpha$. Расстояние $h_M$ от точки $M$ до плоскости $\alpha$ можно найти, используя свойство деления боковой стороны трапеции. Длина отрезка, параллельного основаниям $h_A$ и $h_K$ и делящего боковую сторону $AK$ в отношении $2:1$, вычисляется как средневзвешенное: $h_M = \frac{1 \cdot h_A + 2 \cdot h_K}{1 + 2}$

Подставим сюда известные значения $h_A = 4$ дм и найденное значение $h_K = 7$ дм: $h_M = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 7}{3} = \frac{4 + 14}{3} = \frac{18}{3} = 6$ дм.

(Примечание: если подставить в эту формулу выражение для $h_K$, мы получим общую формулу: $h_M = \frac{1 \cdot h_A + 2 \cdot (\frac{h_B+h_C}{2})}{3} = \frac{h_A + h_B + h_C}{3}$. Эта формула подтверждает, что расстояние до центроида есть среднее арифметическое расстояний до вершин.)

Ответ: 6 дм.