Номер 750, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

750. В тетраэдре DABC DA = DB = DC, ∠ADB = 45°, ∠BDC = 60°. Вычислите угол между векторами:

а) $\vec{DA}$ и $\vec{BD}$

Угол между двумя векторами определяется как угол между ними, когда их начала совмещены. Векторы $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$ исходят из одной точки $D$, поэтому угол между ними равен углу $?ADB$, который по условию задачи составляет $45^\circ$.Вектор $\vec{BD}$ является противоположным вектору $\vec{DB}$, то есть $\vec{BD} = -\vec{DB}$. Угол между вектором $\vec{u}$ и вектором $-\vec{v}$ равен $180^\circ$ минус угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$.Следовательно, угол между векторами $\vec{DA}$ и $\vec{BD}$ вычисляется как $180^\circ - (\text{угол между } \vec{DA} \text{ и } \vec{DB})$.Искомый угол равен $180^\circ - ?ADB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

б) $\vec{DB}$ и $\vec{CB}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{CB}$, необходимо привести их к общему началу. Перенесем их так, чтобы они оба начинались в точке $B$. Вектор, исходящий из точки $B$ и равный вектору $\vec{DB}$, — это вектор $-\vec{BD}$. Вектор, исходящий из точки $B$ и равный вектору $\vec{CB}$, — это вектор $-\vec{BC}$.Угол между векторами $-\vec{BD}$ и $-\vec{BC}$ равен углу между векторами $\vec{BD}$ и $\vec{BC}$. Этот угол соответствует углу $?DBC$ в треугольнике $DBC$.Рассмотрим треугольник $DBC$. По условию, стороны $DB$ и $DC$ равны ($DB=DC$), а угол между ними $?BDC = 60^\circ$. Треугольник, у которого две стороны равны, а угол между ними составляет $60^\circ$, является равносторонним.Это означает, что все углы в треугольнике $DBC$ равны $60^\circ$. В частности, $?DBC = 60^\circ$.Таким образом, угол между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{CB}$ составляет $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

в) $\vec{BD}$ и $\vec{BA}$

Векторы $\vec{BD}$ и $\vec{BA}$ уже имеют общее начало в точке $B$. Значит, угол между ними — это плоский угол $?DBA$ в треугольнике $DAB$.Рассмотрим треугольник $DAB$. Из условия задачи известно, что $DA = DB$. Следовательно, треугольник $DAB$ является равнобедренным с основанием $AB$.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $?DBA = ?DAB$.Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для треугольника $DAB$ справедливо: $?ADB + ?DAB + ?DBA = 180^\circ$.Подставим известные значения: $?ADB = 45^\circ$ и $?DAB = ?DBA$.Получаем уравнение:$45^\circ + ?DBA + ?DBA = 180^\circ$$2 \cdot ?DBA = 180^\circ - 45^\circ$$2 \cdot ?DBA = 135^\circ$$?DBA = \frac{135^\circ}{2} = 67.5^\circ$

Ответ: $67.5^\circ$.