Номер 756, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

756. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка М лежит на ребре ВВ₁, причём ВМ : MB₁ = 3 : 2, а точка N лежит на ребре AD, причём AN : ND = 2 : 3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: a) DD₁C₁C; б) А₁B₁C₁D₁.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть ребро куба имеет длину $a$. Учитывая, что точки $M$ и $N$ делят ребра в отношениях, сумма частей которых равна 5 ($3+2=5$ и $2+3=5$), для удобства вычислений примем длину ребра куба $a=5$.

Поместим вершину $D$ в начало координат. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:$D(0, 0, 0)$, $A(5, 0, 0)$, $C(0, 5, 0)$, $B(5, 5, 0)$, $D_1(0, 0, 5)$, $A_1(5, 0, 5)$, $C_1(0, 5, 5)$, $B_1(5, 5, 5)$.

Найдем координаты точек $M$ и $N$.

• Точка $N$ лежит на ребре $AD$ и делит его в отношении $AN:ND = 2:3$. Длина ребра $AD=5$, следовательно, $AN = 2$ и $ND = 3$. Так как точка $N$ лежит на оси $Ox$, ее расстояние от начала координат (точки $D$) равно $ND=3$. Таким образом, координаты точки $N$ — это $(3, 0, 0)$.
• Точка $M$ лежит на ребре $BB_1$ и делит его в отношении $BM:MB_1 = 3:2$. Длина ребра $BB_1=5$, следовательно, $BM = 3$ и $MB_1 = 2$. Координаты точки $B$ — это $(5, 5, 0)$, а $B_1$ — это $(5, 5, 5)$. Ребро $BB_1$ параллельно оси $Oz$, поэтому $x$ и $y$ координаты точки $M$ такие же, как у точек $B$ и $B_1$. Координата $z$ точки $M$ равна длине отрезка $BM$, то есть $z_M=3$. Таким образом, координаты точки $M$ — это $(5, 5, 3)$.

Найдем направляющий вектор прямой $MN$, который обозначим как $\vec{v}$:$\vec{v} = \vec{MN} = (3-5, 0-5, 0-3) = (-2, -5, -3)$.

Синус угла $\phi$ между прямой с направляющим вектором $\vec{v}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ вычисляется по формуле:$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$.

Найдем длину (модуль) вектора $\vec{v}$:$|\vec{v}| = |\vec{MN}| = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}$.

a) DD?C?C

Плоскость грани $DD_1C_1C$ в выбранной системе координат совпадает с плоскостью $yOz$. Уравнение этой плоскости: $x=0$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_a = (1, 0, 0)$. Его длина $|\vec{n}_a| = 1$.

Вычислим синус угла $\phi_a$ между прямой $MN$ и плоскостью $DD_1C_1C$:$\sin \phi_a = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{n}_a|}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{n}_a|} = \frac{|(-2) \cdot 1 + (-5) \cdot 0 + (-3) \cdot 0|}{\sqrt{38} \cdot 1} = \frac{|-2|}{\sqrt{38}} = \frac{2}{\sqrt{38}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:$\frac{2}{\sqrt{38}} = \frac{2\sqrt{38}}{38} = \frac{\sqrt{38}}{19}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{38}}{19}$.

б) A?B?C?D?

Плоскость грани $A_1B_1C_1D_1$ — это верхняя грань куба. Она параллельна плоскости $xOy$ и проходит через точки с координатой $z=5$. Уравнение этой плоскости: $z=5$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_b = (0, 0, 1)$. Его длина $|\vec{n}_b| = 1$.

Вычислим синус угла $\phi_b$ между прямой $MN$ и плоскостью $A_1B_1C_1D_1$:$\sin \phi_b = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{n}_b|}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{n}_b|} = \frac{|(-2) \cdot 0 + (-5) \cdot 0 + (-3) \cdot 1|}{\sqrt{38} \cdot 1} = \frac{|-3|}{\sqrt{38}} = \frac{3}{\sqrt{38}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:$\frac{3}{\sqrt{38}} = \frac{3\sqrt{38}}{38}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{38}}{38}$.