Номер 760, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

760. Отрезки СА и DB перпендикулярны к ребру двугранного угла CABD, равного 120° . Известно, что AB = m, СА = n, BD = p. Найдите CD.

Для нахождения расстояния между точками C и D в пространстве воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат Oxyz.

1. Поместим точку A в начало координат. Тогда $A$ имеет координаты $A(0, 0, 0)$.

2. Направим ось $Ox$ вдоль ребра двугранного угла, то есть вдоль отрезка $AB$. Так как длина $AB = m$, то точка $B$ будет иметь координаты $B(m, 0, 0)$.

3. По условию, отрезок $CA$ перпендикулярен ребру $AB$. Расположим отрезок $CA$ вдоль оси $Oy$. Поскольку $CA = n$, точка $C$ будет иметь координаты $C(0, n, 0)$. Плоскость $CAB$ в этом случае совпадает с плоскостью $Oxy$.

4. Отрезок $DB$ также перпендикулярен ребру $AB$. Это означает, что вектор $\vec{BD}$ перпендикулярен оси $Ox$. Следовательно, первая координата вектора $\vec{BD}$ равна нулю. Точка $D$ имеет координаты вида $D(m, y_D, z_D)$. Вектор $\vec{BD}$ будет иметь координаты $(m-m, y_D-0, z_D-0)$, то есть $\vec{BD} = (0, y_D, z_D)$. Длина этого вектора равна $p$, следовательно, $|\vec{BD}|^2 = 0^2 + y_D^2 + z_D^2 = p^2$. Отсюда получаем первое уравнение: $y_D^2 + z_D^2 = p^2$.

5. Двугранный угол между плоскостями $CAB$ (это плоскость $Oxy$) и $DAB$ равен 120°. Величина двугранного угла измеряется линейным углом, образованным лучами, перпендикулярными ребру и исходящими из одной точки на ребре. В нашем случае это угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ (или векторами, сонаправленными с ними).
Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты $(0-0, n-0, 0-0)$, то есть $\vec{AC} = (0, n, 0)$.
Вектор $\vec{BD}$ имеет координаты $(0, y_D, z_D)$.
Угол между этими векторами равен 120°. Найдем скалярное произведение этих векторов:
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot \cos(120°)$
С одной стороны, $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0 \cdot 0 + n \cdot y_D + 0 \cdot z_D = n y_D$.
С другой стороны, $|\vec{AC}| = n$, $|\vec{BD}| = p$, а $\cos(120°) = -1/2$.
Значит, $n y_D = n \cdot p \cdot (-\frac{1}{2})$.
Отсюда находим $y_D = -\frac{p}{2}$.

6. Теперь найдем $z_D$ из уравнения $y_D^2 + z_D^2 = p^2$:
$(-\frac{p}{2})^2 + z_D^2 = p^2$
$\frac{p^2}{4} + z_D^2 = p^2$
$z_D^2 = p^2 - \frac{p^2}{4} = \frac{3p^2}{4}$
$z_D = \frac{p\sqrt{3}}{2}$ (можно выбрать и отрицательное значение, на конечном результате это не скажется).
Таким образом, координаты точки $D$ равны $D(m, -\frac{p}{2}, \frac{p\sqrt{3}}{2})$.

7. Наконец, найдем квадрат расстояния $CD$ по формуле расстояния между двумя точками $C(0, n, 0)$ и $D(m, -\frac{p}{2}, \frac{p\sqrt{3}}{2})$:
$CD^2 = (x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2$
$CD^2 = (m - 0)^2 + (-\frac{p}{2} - n)^2 + (\frac{p\sqrt{3}}{2} - 0)^2$
$CD^2 = m^2 + (-(n + \frac{p}{2}))^2 + (\frac{p\sqrt{3}}{2})^2$
$CD^2 = m^2 + (n + \frac{p}{2})^2 + \frac{3p^2}{4}$
$CD^2 = m^2 + (n^2 + 2 \cdot n \cdot \frac{p}{2} + (\frac{p}{2})^2) + \frac{3p^2}{4}$
$CD^2 = m^2 + n^2 + np + \frac{p^2}{4} + \frac{3p^2}{4}$
$CD^2 = m^2 + n^2 + np + \frac{4p^2}{4}$
$CD^2 = m^2 + n^2 + p^2 + np$
Следовательно, длина отрезка $CD$ равна корню из этого выражения.

Ответ: $CD = \sqrt{m^2 + n^2 + p^2 + np}$