Номер 764, страница 189 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

764. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 6 см, а боковое ребро равно 3 см.

а) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ABC₁.

б) Докажите, что прямая A₁B₁ параллельна плоскости AC₁B.

в) Найдите угол, который составляет прямая B₁C с плоскостью ABC.

г) Найдите угол между плоскостями AB₁C и ABC.

д) Найдите длину вектора BB₁ − BC + 2A₁A − C₁C.

е) Найдите объём призмы.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны основаниям.
По условию, сторона основания $a = 6$ см (например, $AB = BC = AC = 6$ см), а боковое ребро $h = 3$ см (например, $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 3$ см).

а) Сечение призмы плоскостью $ABC_1$ представляет собой треугольник $ABC_1$. Найдем его площадь.

Стороны этого треугольника:
1. Сторона $AB$ лежит в основании призмы, ее длина $AB = 6$ см.
2. Сторону $AC_1$ найдем из прямоугольного треугольника $ACC_1$ (угол $\angle ACC_1 = 90^\circ$, так как призма правильная). По теореме Пифагора:$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$.$AC_1 = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ см.
3. Аналогично, сторону $BC_1$ найдем из прямоугольного треугольника $BCC_1$:$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 6^2 + 3^2 = 45$.$BC_1 = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ см.

Треугольник $ABC_1$ является равнобедренным с основанием $AB=6$ и боковыми сторонами $AC_1 = BC_1 = 3\sqrt{5}$.
Проведем в нем высоту $C_1M$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $M$ — середина $AB$, и $AM = MB = 3$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $C_1MC$. Его катет $CC_1 = 3$ см. Второй катет $CM$ — это высота в равностороннем треугольнике $ABC$.$CM = \frac{AC \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
Так как $CC_1 \perp (ABC)$, то $CC_1 \perp CM$. Следовательно, треугольник $C_1MC$ — прямоугольный.
Найдем гипотенузу $C_1M$ (которая является высотой в сечении $ABC_1$) по теореме Пифагора:$C_1M^2 = CM^2 + CC_1^2 = (3\sqrt{3})^2 + 3^2 = 27 + 9 = 36$.$C_1M = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь можем найти площадь сечения (треугольника $ABC_1$):$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ см$^2$.

Ответ: $18$ см$^2$.

б) Чтобы доказать, что прямая $A_1B_1$ параллельна плоскости $AC_1B$, нужно доказать, что прямая $A_1B_1$ параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

1. В правильной призме основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$.
2. Прямые $AB$ и $A_1B_1$ — соответственные стороны оснований, следовательно, они параллельны: $A_1B_1 \parallel AB$.
3. Прямая $AB$ является одной из сторон треугольника $AC_1B$, а значит, лежит в плоскости этого сечения: $AB \subset (AC_1B)$.
4. По признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Так как $A_1B_1 \parallel AB$ и $AB \subset (AC_1B)$, то $A_1B_1 \parallel (AC_1B)$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в) Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

1. Прямая — $B_1C$. Плоскость — $(ABC)$.
2. Найдем проекцию прямой $B_1C$ на плоскость $(ABC)$.
Проекцией точки $C$ на плоскость $(ABC)$ является сама точка $C$.
Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Значит, $B$ является ортогональной проекцией точки $B_1$ на плоскость $(ABC)$.
Следовательно, проекцией наклонной $B_1C$ на плоскость $(ABC)$ является отрезок $BC$.
3. Искомый угол — это угол между прямой $B_1C$ и ее проекцией $BC$, то есть угол $\angle B_1CB$.
4. Рассмотрим треугольник $B_1CB$. Так как $BB_1 \perp (ABC)$, то $BB_1 \perp BC$. Значит, $\Delta B_1CB$ — прямоугольный.
Катеты: $BB_1 = 3$ см (высота призмы), $BC = 6$ см (сторона основания).
Найдем тангенс угла $\angle B_1CB$:$\tan(\angle B_1CB) = \frac{BB_1}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, искомый угол равен $\arctan(\frac{1}{2})$.

Ответ: $\arctan(\frac{1}{2})$.

г) Угол между двумя плоскостями — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями.

1. Плоскости $(AB_1C)$ и $(ABC)$ пересекаются по прямой $AC$.
2. Построим линейный угол. Для этого в каждой плоскости проведем перпендикуляр к линии пересечения $AC$ в одной и той же точке.
3. В плоскости $(ABC)$ проведем высоту $BK$ к стороне $AC$. Так как $\Delta ABC$ равносторонний, $BK$ является также и медианой, т.е. $K$ — середина $AC$.$BK = \frac{BC\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
4. В плоскости $(AB_1C)$ рассмотрим $\Delta AB_1C$.$AC = 6$.$AB_1 = CB_1 = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ (по аналогии с пунктом а)).Треугольник $AB_1C$ равнобедренный. Проведем в нем медиану $B_1K$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана является и высотой, т.е. $B_1K \perp AC$.
5. Мы построили два перпендикуляра ($BK$ и $B_1K$) к общей прямой $AC$ в одной точке $K$. Угол между ними, $\angle B_1KB$, и есть искомый угол между плоскостями.
6. Найдем этот угол из треугольника $B_1KB$. Так как $BB_1 \perp (ABC)$, то $BB_1 \perp BK$. Значит, $\Delta B_1KB$ — прямоугольный.
Катеты: $BB_1 = 3$ см, $BK = 3\sqrt{3}$ см.
Найдем тангенс угла $\angle B_1KB$:$\tan(\angle B_1KB) = \frac{BB_1}{BK} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

д) Найдем длину вектора $\vec{v} = \vec{BB_1} - \vec{BC} + 2\vec{A_1A} - \vec{C_1C}$.

Упростим векторное выражение, используя свойства векторов в призме:
1. $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1}$.
2. $\vec{C_1C} = -\vec{CC_1}$.
3. В призме векторы боковых ребер равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.
Подставим эти соотношения в исходное выражение:$\vec{v} = \vec{BB_1} - \vec{BC} + 2(-\vec{AA_1}) - (-\vec{CC_1})$$\vec{v} = \vec{BB_1} - \vec{BC} - 2\vec{AA_1} + \vec{CC_1}$
Заменим $\vec{AA_1}$ и $\vec{CC_1}$ на равный им вектор $\vec{BB_1}$:$\vec{v} = \vec{BB_1} - \vec{BC} - 2\vec{BB_1} + \vec{BB_1}$
Сгруппируем подобные члены:$\vec{v} = (\vec{BB_1} - 2\vec{BB_1} + \vec{BB_1}) - \vec{BC}$$\vec{v} = (1 - 2 + 1)\vec{BB_1} - \vec{BC} = 0 \cdot \vec{BB_1} - \vec{BC} = -\vec{BC}$.
Вектор $\vec{v}$ равен вектору $-\vec{BC}$, что то же самое, что и вектор $\vec{CB}$.
Длина вектора $\vec{v}$ равна длине вектора $\vec{CB}$, то есть длине отрезка $CB$.
Длина стороны основания $CB$ равна 6 см.$|\vec{v}| = |\vec{CB}| = 6$ см.

Ответ: 6.

е) Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Основание — равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 6$ см. Его площадь:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см$^2$.
2. Высота призмы $h$ равна длине бокового ребра: $h = 3$ см.
3. Вычислим объем:$V = S_{осн} \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot 3 = 27\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $27\sqrt{3}$ см$^3$.