Номер 769, страница 190 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

769. Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.

Пусть дан тетраэдр $ABCD$. По условию, одна из его высот, например, высота $DH$, опущенная из вершины $D$ на плоскость грани $ABC$, проходит через точку пересечения высот (ортоцентр) треугольника $ABC$. Обозначим эту точку $H$. Мы докажем, что это условие равносильно тому, что скрещивающиеся ребра тетраэдра попарно перпендикулярны, и из этого уже будет следовать утверждение задачи.

Шаг 1: Доказательство перпендикулярности скрещивающихся ребер.

По определению высоты тетраэдра, $DH \perp \text{пл.} ABC$. Это означает, что прямая $DH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$.

Рассмотрим скрещивающиеся ребра $AD$ и $BC$.

1. Поскольку $H$ является ортоцентром треугольника $ABC$, прямая, содержащая высоту из вершины $A$, проходит через $H$. Следовательно, прямая $AH$ перпендикулярна стороне $BC$, то есть $AH \perp BC$.
2. Так как $DH \perp \text{пл.} ABC$, то $DH$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в этой плоскости, то есть $DH \perp BC$.
3. Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AH$ и $DH$, которые лежат в плоскости $ADH$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $ADH$ ($BC \perp \text{пл.} ADH$).
4. Ребро $AD$ лежит в плоскости $ADH$, следовательно, $BC \perp AD$.

Аналогично доказывается перпендикулярность для двух других пар скрещивающихся ребер:

• Для ребер $BD$ и $AC$: так как $H$ — ортоцентр, то $BH \perp AC$. Также $DH \perp AC$. Следовательно, $AC \perp \text{пл.} BDH$, а значит $AC \perp BD$.
• Для ребер $CD$ и $AB$: так как $H$ — ортоцентр, то $CH \perp AB$. Также $DH \perp AB$. Следовательно, $AB \perp \text{пл.} CDH$, а значит $AB \perp CD$.

Таким образом, из условия задачи следует, что скрещивающиеся ребра тетраэдра попарно перпендикулярны. Такой тетраэдр называется ортоцентрическим.

Шаг 2: Доказательство того, что остальные высоты проходят через ортоцентры граней.

Теперь покажем, что если скрещивающиеся ребра тетраэдра попарно перпендикулярны, то любая его высота проходит через ортоцентр противоположной грани. Свойство перпендикулярности скрещивающихся ребер симметрично относительно всех вершин и ребер тетраэдра. Докажем утверждение для высоты, опущенной из вершины $A$ на грань $BCD$.

Пусть $AP$ — высота тетраэдра из вершины $A$, то есть $AP \perp \text{пл.} BCD$. Нам нужно доказать, что точка $P$ является ортоцентром треугольника $BCD$. Для этого достаточно показать, что $P$ является точкой пересечения двух высот $\triangle BCD$.

1. Докажем, что прямая $CP$ является высотой $\triangle BCD$, то есть $CP \perp BD$.
   • Из Шага 1 мы знаем, что $AC \perp BD$.
   • Так как $AP \perp \text{пл.} BCD$, то $AP \perp BD$.
   • Прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $AP$, которые лежат в плоскости $ACP$. Следовательно, $BD \perp \text{пл.} ACP$.
   • Поскольку прямая $CP$ лежит в плоскости $ACP$, то $BD \perp CP$.
2. Докажем, что прямая $BP$ является высотой $\triangle BCD$, то есть $BP \perp CD$.
   • Из Шага 1 мы знаем, что $AB \perp CD$.
   • Так как $AP \perp \text{пл.} BCD$, то $AP \perp CD$.
   • Прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $AP$, которые лежат в плоскости $ABP$. Следовательно, $CD \perp \text{пл.} ABP$.
   • Поскольку прямая $BP$ лежит в плоскости $ABP$, то $CD \perp BP$.

Поскольку прямые $CP$ и $BP$ являются высотами в треугольнике $BCD$, их точка пересечения $P$ является ортоцентром этого треугольника. Таким образом, высота тетраэдра, опущенная из вершины $A$, проходит через ортоцентр грани $BCD$.

Так как свойство попарной перпендикулярности скрещивающихся ребер является общим для тетраэдра, аналогичные рассуждения можно провести для высот, опущенных из вершин $B$ и $C$. Они также будут проходить через ортоцентры противоположных граней $ACD$ и $ABD$ соответственно.

Следовательно, если одна из высот тетраэдра проходит через ортоцентр противоположной грани, то и все остальные высоты обладают этим свойством.

Ответ: Утверждение доказано.