Номер 772, страница 190 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

772. Сколько существует плоскостей, каждая из которых равноудалена от четырёх данных точек, не лежащих в одной плоскости?

Пусть даны четыре точки $A, B, C, D$, не лежащие в одной плоскости. Эти точки являются вершинами тетраэдра. Искомая плоскость $\pi$ должна быть равноудалена от всех четырёх вершин, то есть расстояния от точек $A, B, C, D$ до плоскости $\pi$ должны быть равны. Обозначим это расстояние как $d$. Так как точки не лежат в одной плоскости, то $d > 0$.

Если две точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости, они могут лежать либо по одну сторону от неё, либо по разные.

• Если точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от плоскости $\pi$ и равноудалены от неё, то прямая $PQ$ параллельна плоскости $\pi$.
• Если точки $P$ и $Q$ лежат по разные стороны от плоскости $\pi$ и равноудалены от неё, то плоскость $\pi$ проходит через середину отрезка $PQ$.

Рассмотрим возможные случаи расположения четырёх точек относительно плоскости $\pi$.

1. Три точки с одной стороны плоскости, одна — с другой

Предположим, что точки $A, B, C$ лежат по одну сторону от плоскости $\pi$, а точка $D$ — по другую.

Так как $A, B$ и $C$ лежат по одну сторону от $\pi$, то прямые $AB$ и $AC$ параллельны плоскости $\pi$. Поскольку эти прямые пересекаются в точке $A$, то плоскость, содержащая их (грань тетраэдра $ABC$), параллельна плоскости $\pi$.

Так как точки $A$ и $D$ лежат по разные стороны от $\pi$, плоскость $\pi$ должна проходить через середину отрезка $AD$. Аналогично, она должна проходить через середины отрезков $BD$ и $CD$.

Таким образом, плоскость $\pi$ проходит через середины трёх рёбер тетраэдра, выходящих из вершины $D$: $M_{AD}, M_{BD}, M_{CD}$. Эти три точки не лежат на одной прямой (так как образуют треугольник, подобный треугольнику $ABC$ с коэффициентом $1/2$), поэтому они однозначно задают плоскость. Эта плоскость параллельна грани $ABC$ и находится на полпути между вершиной $D$ и гранью $ABC$, что и обеспечивает равное расстояние до точек $A, B, C$ и $D$.

Выбор точки, которая находится одна по другую сторону от плоскости, может быть сделан четырьмя способами (это может быть $A, B, C$ или $D$). Каждому выбору соответствует уникальная плоскость, параллельная противоположной грани тетраэдра. Например, если $A$ — одна, а $B, C, D$ — с другой стороны, то плоскость будет параллельна грани $BCD$. Так как грани тетраэдра не параллельны, то и эти четыре плоскости различны.

Следовательно, в этом случае существует 4 плоскости.

2. Две точки с одной стороны плоскости, две — с другой

Предположим, что точки $A, B$ лежат по одну сторону от плоскости $\pi$, а точки $C, D$ — по другую.

Из условия следует:

• Точки $A, B$ по одну сторону $\implies$ прямая $AB$ параллельна $\pi$.
• Точки $C, D$ по одну сторону $\implies$ прямая $CD$ параллельна $\pi$.

Таким образом, плоскость $\pi$ параллельна двум скрещивающимся рёбрам тетраэдра $AB$ и $CD$.

Также из условия следует:

• Точки $A, C$ по разные стороны $\implies \pi$ проходит через середину отрезка $AC$.
• Точки $A, D$ по разные стороны $\implies \pi$ проходит через середину отрезка $AD$.
• Точки $B, C$ по разные стороны $\implies \pi$ проходит через середину отрезка $BC$.
• Точки $B, D$ по разные стороны $\implies \pi$ проходит через середину отрезка $BD$.

Плоскость $\pi$ проходит через середины четырёх рёбер: $AC, AD, BC, BD$. Эти четыре середины образуют параллелограмм и лежат в одной плоскости. Такая плоскость единственна. Она расположена посередине между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ и параллельна им, что обеспечивает равное расстояние до всех четырёх вершин.

Количество таких плоскостей равно количеству способов выбрать пару скрещивающихся рёбер в тетраэдре. В тетраэдре 6 рёбер, которые образуют 3 пары скрещивающихся (противоположных) рёбер:

1. $AB$ и $CD$
2. $AC$ и $BD$
3. $AD$ и $BC$

Каждая пара определяет одну уникальную плоскость. Следовательно, в этом случае существует 3 плоскости.

3. Все четыре точки с одной стороны плоскости

Если бы все четыре точки $A, B, C, D$ находились по одну сторону от плоскости $\pi$, то все прямые, соединяющие их попарно ($AB, AC, AD, BC$ и т.д.), были бы параллельны $\pi$. В частности, векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ были бы параллельны $\pi$. Но по условию точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости, поэтому векторы $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ не компланарны (они образуют базис в трёхмерном пространстве). Три некомпланарных вектора не могут быть параллельны одной плоскости. Следовательно, этот случай невозможен.

Итак, общее количество плоскостей, равноудаленных от четырёх данных точек, равно сумме плоскостей, найденных в каждом возможном случае: $4 + 3 = 7$.

Ответ: 7.