Номер 774, страница 190 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

774. Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести.

Задача состоит в том, чтобы доказать, какие правильные многоугольники могут быть получены в сечении куба, а какие — нет. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Доказательство, что сечением куба может быть правильный треугольник

Пусть дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром длины $a$. Рассмотрим три вершины куба, не принадлежащие одной грани, например, $B$, $D$ и $A_1$. Проведем через эти три точки секущую плоскость.

Сторонами получившегося сечения — треугольника $BDA_1$ — являются отрезки $BD$, $DA_1$ и $A_1B$. Эти отрезки являются диагоналями граней куба:

• $BD$ — диагональ грани $ABCD$.
• $DA_1$ — диагональ грани $ADD_1A_1$.
• $A_1B$ — диагональ грани $AA_1B_1B$.

Все грани куба — равные квадраты, поэтому их диагонали равны. Длину диагонали грани можно найти по теореме Пифагора. Для грани $ABCD$ с ребрами $AB=a$ и $AD=a$ длина диагонали $BD$ равна:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Аналогично, длины двух других сторон треугольника равны:

$DA_1 = a\sqrt{2}$

$A_1B = a\sqrt{2}$

Поскольку все три стороны треугольника $BDA_1$ равны ($BD = DA_1 = A_1B = a\sqrt{2}$), этот треугольник является равносторонним, то есть правильным.

Ответ: Сечением куба может быть правильный треугольник.

Доказательство, что сечением куба может быть квадрат

Пусть дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром длины $a$. Проведем секущую плоскость, параллельную одной из граней куба, например, грани $ABCD$, и проходящую через его внутреннюю часть. Например, такая плоскость может проходить через середины вертикальных ребер $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$.

В сечении получится четырехугольник, вершины которого лежат на этих ребрах. Так как секущая плоскость параллельна плоскости основания $ABCD$, то полученное сечение будет конгруэнтно основанию. Это будет четырехугольник с четырьмя равными сторонами длиной $a$ и четырьмя прямыми углами, то есть квадрат.

Ответ: Сечением куба может быть квадрат.

Доказательство, что сечением куба может быть правильный шестиугольник

Пусть дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром длины $a$. Рассмотрим плоскость, проходящую через центр куба перпендикулярно его главной диагонали (например, диагонали $AC_1$).

Эта плоскость пересекает шесть ребер куба в их серединах. Это ребра, которые не имеют общих вершин с концами выбранной диагонали (то есть не выходят из вершин $A$ и $C_1$). Это ребра: $AB$, $BC$, $CC_1$, $C_1D_1$, $D_1A_1$, $A_1A$. Обозначим их середины как $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6$ соответственно.

Соединив эти точки последовательно, получим шестиугольник $M_1M_2M_3M_4M_5M_6$. Найдем длины его сторон. Рассмотрим, например, сторону $M_1M_2$. Точки $M_1$ и $M_2$ — середины ребер $AB$ и $BC$ соответственно. В треугольнике $ABC$ отрезок $M_1M_2$ является средней линией. Его длина равна половине длины диагонали грани $AC$.

Длина диагонали $AC = a\sqrt{2}$. Следовательно, длина стороны $M_1M_2$ равна:

$M_1M_2 = \frac{1}{2} AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

В силу симметрии куба, все шесть сторон полученного шестиугольника будут иметь одинаковую длину $a\sqrt{2}/2$.

Теперь докажем, что все углы этого шестиугольника равны. В силу симметрии достаточно найти один из углов, например, $\angle M_1M_6M_5$. Введем систему координат с началом в вершине $A$ и осями вдоль ребер $AD$, $AB$, $AA_1$. Тогда координаты точек:

$M_1$ (середина $AB$): $(0, a/2, 0)$

$M_6$ (середина $AA_1$): $(0, 0, a/2)$

$M_5$ (середина $A_1D_1$): $(a/2, 0, a)$

Найдем векторы $\vec{M_6M_1}$ и $\vec{M_6M_5}$:

$\vec{M_6M_1} = (0 - 0, a/2 - 0, 0 - a/2) = (0, a/2, -a/2)$

$\vec{M_6M_5} = (a/2 - 0, 0 - 0, a - a/2) = (a/2, 0, a/2)$

Найдем косинус угла между этими векторами:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{M_6M_1} \cdot \vec{M_6M_5}}{|\vec{M_6M_1}| \cdot |\vec{M_6M_5}|} = \frac{0 \cdot (a/2) + (a/2) \cdot 0 + (-a/2) \cdot (a/2)}{\sqrt{0^2 + (a/2)^2 + (-a/2)^2} \cdot \sqrt{(a/2)^2 + 0^2 + (a/2)^2}} = \frac{-a^2/4}{\sqrt{a^2/2} \cdot \sqrt{a^2/2}} = \frac{-a^2/4}{a^2/2} = -\frac{1}{2}$

Отсюда следует, что $\theta = 120^\circ$.

Так как все стороны шестиугольника равны и все его углы равны $120^\circ$, он является правильным.

Ответ: Сечением куба может быть правильный шестиугольник.

Доказательство, что сечением куба не может быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести

Разберем оба случая.

1. Многоугольник с числом сторон более шести.

Сечение многогранника плоскостью — это многоугольник, стороны которого являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями многогранника. У куба всего 6 граней. Секущая плоскость может пересечь каждую грань не более одного раза (по одному отрезку). Следовательно, у многоугольника, полученного в сечении, не может быть более 6 сторон. Таким образом, сечением куба не может быть ни правильный семиугольник, ни восьмиугольник, и т.д.

2. Правильный пятиугольник.

Докажем от противного. Предположим, что в сечении куба получился правильный пятиугольник. Это означает, что секущая плоскость пересекает 5 из 6 граней куба.

Грани куба можно сгруппировать в три пары параллельных между собой плоскостей (верхняя и нижняя, передняя и задняя, левая и правая).

По свойству параллельных плоскостей, если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. То есть, стороны многоугольника, лежащие на параллельных гранях куба, должны быть параллельны между собой.

Чтобы получить в сечении пятиугольник, секущая плоскость должна пересечь 5 граней. По принципу Дирихле, из 5 граней как минимум одна пара должна быть параллельными гранями (так как пар всего 3). Более того, если $k_1, k_2, k_3$ — количество пересекаемых граней из каждой пары, то $k_1+k_2+k_3=5$, где $k_i \in \{0, 1, 2\}$. Единственное решение (с точностью до перестановки) — это $2, 2, 1$. Это означает, что секущая плоскость пересекает две пары параллельных граней и одну грань из третьей пары. Следовательно, в полученном пятиугольнике должны быть две пары параллельных сторон.

Однако в правильном пятиугольнике нет ни одной пары параллельных сторон. Все его внутренние углы равны $((5-2) \cdot 180^\circ) / 5 = 108^\circ$, что исключает параллельность любых сторон.

Полученное противоречие доказывает, что сечение куба не может быть правильным пятиугольником.

Ответ: Сечением куба не может быть правильный пятиугольник, а также любой правильный многоугольник с числом сторон, большим шести.