Номер 780, страница 190 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

780. Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещается в коробку, имеющую форму куба с ребром 1 см?

Чтобы найти наибольшую возможную длину ребра правильного тетраэдра, который помещается в куб, необходимо рассмотреть оптимальное расположение тетраэдра внутри куба. Максимальный размер достигается, когда вершины тетраэдра совпадают с некоторыми вершинами куба.

Пусть ребро куба равно $a = 1$ см. Введем декартову систему координат, поместив одну из вершин куба в начало координат $O(0,0,0)$ и направив ребра куба вдоль осей. Вершины куба будут иметь координаты $(x, y, z)$, где $x, y, z \in \{0, 1\}$.

Для построения вписанного правильного тетраэдра выберем четыре вершины куба так, чтобы никакие две из них не были соединены ребром куба. Например, можно взять вершину $O(0,0,0)$ и три вершины, которые являются концами диагоналей граней, выходящих из противоположной вершины $G(1,1,1)$. Другой, более простой для расчетов, способ — выбрать одну вершину и три другие, соединенные с ней диагоналями граней. Возьмем следующие четыре вершины куба: $V_1(0,0,0)$, $V_2(1,1,0)$, $V_3(1,0,1)$ и $V_4(0,1,1)$.

Теперь необходимо убедиться, что эти четыре точки образуют правильный тетраэдр. Для этого найдем расстояния между всеми парами этих точек. Пусть $b$ — искомая длина ребра тетраэдра. Используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$. Удобнее сравнивать квадраты расстояний:

• $|V_1V_2|^2 = (1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2 = 1+1+0 = 2$
• $|V_1V_3|^2 = (1-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2 = 1+0+1 = 2$
• $|V_1V_4|^2 = (0-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2 = 0+1+1 = 2$
• $|V_2V_3|^2 = (1-1)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2 = 0+1+1 = 2$
• $|V_2V_4|^2 = (1-0)^2 + (1-1)^2 + (0-1)^2 = 1+0+1 = 2$
• $|V_3V_4|^2 = (1-0)^2 + (0-1)^2 + (1-1)^2 = 1+1+0 = 2$

Поскольку квадраты всех шести расстояний между вершинами равны 2, то и сами расстояния равны. Это означает, что выбранные вершины образуют правильный тетраэдр. Длина ребра $b$ этого тетраэдра равна:

$b^2 = 2 \implies b = \sqrt{2}$ см.

Таким образом, ребро тетраэдра равно диагонали грани куба. Для куба с ребром $a$, длина диагонали грани вычисляется по теореме Пифагора как $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. При $a=1$ см, получаем длину ребра тетраэдра $b = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см. Данное расположение является оптимальным и позволяет вписать в куб тетраэдр с максимально возможной длиной ребра.

Ответ: $\sqrt{2}$ см.