Номер 783, страница 191 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

783. Внутри куба с ребром 1 см расположена ломаная, причём любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает её не более чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше 3 см. Докажите, что можно построить ломаную, обладающую указанным свойством, длина которой сколь угодно мало отличается от 3 см.

Докажите, что длина ломаной меньше 3 см.

Расположим куб в системе координат так, чтобы его вершины находились в точках с координатами $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ и так далее. Таким образом, куб задается неравенствами $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$.

Пусть ломаная $L$ состоит из $n$ сегментов, соединяющих последовательно точки $P_0(x_0, y_0, z_0)$, $P_1(x_1, y_1, z_1)$, ..., $P_n(x_n, y_n, z_n)$. Длина $i$-го сегмента $P_{i-1}P_i$ равна: $$ \Delta L_i = \sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + (y_i - y_{i-1})^2 + (z_i - z_{i-1})^2} = \sqrt{(\Delta x_i)^2 + (\Delta y_i)^2 + (\Delta z_i)^2} $$ Общая длина ломаной $D$ равна сумме длин ее сегментов: $$ D = \sum_{i=1}^{n} \Delta L_i $$

Условие задачи гласит, что любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает ломаную не более чем в одной точке. Плоскости, параллельные граням куба, задаются уравнениями $x = \text{const}$, $y = \text{const}$ и $z = \text{const}$. Условие "плоскость $x = c$ пересекает ломаную не более чем в одной точке" означает, что для любого значения $c$ существует не более одной точки на ломаной с такой $x$-координатой. Это значит, что при движении по ломаной от ее начала $P_0$ до конца $P_n$ координата $x$ должна быть строго монотонной функцией (либо строго возрастать, либо строго убывать). То же самое справедливо для координат $y$ и $z$.

Будем считать, не умаляя общности, что все три координаты возрастают. Тогда для каждого сегмента ломаной имеем $\Delta x_i \ge 0$, $\Delta y_i \ge 0$, $\Delta z_i \ge 0$. Суммарное изменение каждой координаты по всей длине ломаной не может превышать длину ребра куба: $$ L_x = \sum_{i=1}^{n} \Delta x_i = x_n - x_0 \le 1 - 0 = 1 $$ $$ L_y = \sum_{i=1}^{n} \Delta y_i = y_n - y_0 \le 1 - 0 = 1 $$ $$ L_z = \sum_{i=1}^{n} \Delta z_i = z_n - z_0 \le 1 - 0 = 1 $$

Для длины каждого сегмента ломаной справедливо неравенство (аналог неравенства треугольника): $$ \Delta L_i = \sqrt{(\Delta x_i)^2 + (\Delta y_i)^2 + (\Delta z_i)^2} \le \Delta x_i + \Delta y_i + \Delta z_i $$ (так как $\Delta x_i, \Delta y_i, \Delta z_i \ge 0$). Просуммировав это неравенство по всем сегментам, получим: $$ D = \sum_{i=1}^{n} \Delta L_i \le \sum_{i=1}^{n} (\Delta x_i + \Delta y_i + \Delta z_i) = \sum_{i=1}^{n} \Delta x_i + \sum_{i=1}^{n} \Delta y_i + \sum_{i=1}^{n} \Delta z_i = L_x + L_y + L_z $$ Используя полученные ранее оценки для $L_x, L_y, L_z$, имеем: $$ D \le 1 + 1 + 1 = 3 $$ Таким образом, длина ломаной не превышает 3 см.

Теперь докажем строгое неравенство $D < 3$. Равенство $D = 3$ могло бы достигаться только в том случае, если все неравенства, которые мы использовали, обращаются в равенства. Это требует одновременного выполнения двух условий:
1. $L_x = 1$, $L_y = 1$, $L_z = 1$. Это означает, что ломаная должна соединять противоположные вершины куба, например, $(0,0,0)$ и $(1,1,1)$.
2. Для каждого сегмента $i$ должно выполняться равенство $\sqrt{(\Delta x_i)^2 + (\Delta y_i)^2 + (\Delta z_i)^2} = \Delta x_i + \Delta y_i + \Delta z_i$. Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда как минимум две из трех величин $\Delta x_i, \Delta y_i, \Delta z_i$ равны нулю. Геометрически это означает, что каждый сегмент ломаной должен быть параллелен одной из координатных осей.

Рассмотрим любой сегмент такой гипотетической ломаной с длиной $D=3$. Пусть он параллелен, например, оси $x$. Тогда для всех точек этого сегмента координаты $y$ и $z$ постоянны: $y = c_1$, $z = c_2$. Весь этот сегмент (который содержит более одной точки) лежит в плоскости $y = c_1$ и одновременно в плоскости $z = c_2$. Это противоречит условию задачи, согласно которому любая такая плоскость может пересекать ломаную не более чем в одной точке. Следовательно, случай $D=3$ невозможен.

Ответ: Таким образом, доказано, что длина ломаной строго меньше 3 см.

Докажите, что можно построить ломаную, обладающую указанным свойством, длина которой сколь угодно мало отличается от 3 см.

Для доказательства построим семейство ломаных, удовлетворяющих условию, длина которых может быть сколь угодно близкой к 3. Пусть $\epsilon$ — малое положительное число. Построим ломаную из трех сегментов, соединяющую точки $P_0, P_1, P_2, P_3$. Выберем координаты этих точек следующим образом: $$ P_0 = (2\epsilon, \epsilon, 4\epsilon) $$ $$ P_1 = (1-2\epsilon, 2\epsilon, 5\epsilon) $$ $$ P_2 = (1-\epsilon, 1-2\epsilon, 6\epsilon) $$ $$ P_3 = (1, 1-\epsilon, 1-2\epsilon) $$

1. Проверка нахождения внутри куба. Все точки ломаной должны находиться внутри куба, то есть их координаты должны быть в интервале $(0, 1)$. Это будет выполняться, если выбрать $\epsilon$ достаточно малым. Например, при $\epsilon < 1/8$ все координаты всех четырех точек будут находиться между 0 и 1. Так как куб — выпуклое множество, вся ломаная будет находиться внутри него.

2. Проверка выполнения условия монотонности. Проверим, что координаты $x, y, z$ строго возрастают вдоль ломаной.
- Координаты $x$: $2\epsilon < 1-2\epsilon < 1-\epsilon < 1$. Это верно для $\epsilon < 1/4$.
- Координаты $y$: $\epsilon < 2\epsilon < 1-2\epsilon < 1-\epsilon$. Неравенство $2\epsilon < 1-2\epsilon$ дает $4\epsilon < 1$, или $\epsilon < 1/4$.
- Координаты $z$: $4\epsilon < 5\epsilon < 6\epsilon < 1-2\epsilon$. Неравенство $6\epsilon < 1-2\epsilon$ дает $8\epsilon < 1$, или $\epsilon < 1/8$.
Таким образом, при $\epsilon < 1/8$ все три координаты строго возрастают, и условие задачи выполнено.

3. Вычисление длины ломаной. Найдем векторы, образующие сегменты ломаной: $$ \vec{P_0P_1} = (1-4\epsilon, \epsilon, \epsilon) $$ $$ \vec{P_1P_2} = (\epsilon, 1-4\epsilon, \epsilon) $$ $$ \vec{P_2P_3} = (\epsilon, \epsilon, 1-8\epsilon) $$ Длины сегментов равны: $$ L_1 = |\vec{P_0P_1}| = \sqrt{(1-4\epsilon)^2 + \epsilon^2 + \epsilon^2} = \sqrt{1 - 8\epsilon + 18\epsilon^2} $$ $$ L_2 = |\vec{P_1P_2}| = \sqrt{\epsilon^2 + (1-4\epsilon)^2 + \epsilon^2} = \sqrt{1 - 8\epsilon + 18\epsilon^2} $$ $$ L_3 = |\vec{P_2P_3}| = \sqrt{\epsilon^2 + \epsilon^2 + (1-8\epsilon)^2} = \sqrt{1 - 16\epsilon + 66\epsilon^2} $$ Общая длина ломаной: $$ D(\epsilon) = 2\sqrt{1 - 8\epsilon + 18\epsilon^2} + \sqrt{1 - 16\epsilon + 66\epsilon^2} $$

Теперь рассмотрим предел длины $D(\epsilon)$ при $\epsilon \to 0^+$: $$ \lim_{\epsilon \to 0^+} D(\epsilon) = 2\sqrt{1 - 0 + 0} + \sqrt{1 - 0 + 0} = 2 \cdot 1 + 1 = 3 $$ Поскольку мы можем выбрать $\epsilon$ сколь угодно малым, длина построенной ломаной $D(\epsilon)$ может быть сколь угодно близкой к 3. Например, для любого $\eta > 0$ можно найти такое $\epsilon > 0$, что $D(\epsilon) > 3 - \eta$.

Ответ: Таким образом, доказано, что можно построить ломаную с требуемыми свойствами, длина которой сколь угодно мало отличается от 3 см.