Номер 779, страница 190 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

779. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна S. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоскости боковой грани.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $PABCDEF$, где $P$ – вершина, а $ABCDEF$ – правильный шестиугольник в основании. Пусть $O$ – центр основания, тогда $PO$ – высота пирамиды. По условию, площадь боковой грани, например, грани $PAB$, равна $S$.

Требуется найти площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$, которая проходит через середину высоты $PO$, обозначим эту точку $M$, и параллельна плоскости одной из боковых граней, например, грани $PAB$.

Для решения задачи воспользуемся методом гомотетии. Гомотетия – это преобразование подобия, которое переводит любую плоскость в параллельную ей плоскость. Мы найдем такую гомотетию, которая переводит плоскость грани $PAB$ в секущую плоскость $\alpha$.

В качестве центра гомотетии выберем вершину основания, которая является симметричной к стороне $AB$ относительно центра $O$. Это вершина $D$. Обозначим гомотетию с центром в точке $D$ и коэффициентом $k$ как $H_{D,k}$.

Плоскость грани $PAB$ при гомотетии $H_{D,k}$ переходит в параллельную ей плоскость. Нам нужно подобрать коэффициент $k$ так, чтобы эта новая плоскость прошла через точку $M$ – середину высоты $PO$.

Введем векторное представление. Пусть начало координат находится в центре основания $O$. Тогда вектор высоты – $\vec{p} = \vec{OP}$, а вектор середины высоты – $\vec{m} = \vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{p}$. Векторы вершин основания обозначим как $\vec{a}, \vec{b}, \dots, \vec{d}$.

Плоскость грани $PAB$ проходит через точку $P$, поэтому ее уравнение в векторной форме имеет вид $\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$, где $\vec{n}$ – вектор нормали к плоскости.Плоскость $\alpha$, параллельная $PAB$ и проходящая через точку $M$, имеет уравнение $\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{m}) = 0$. Раскрывая скобки и учитывая, что $\vec{m} = \frac{1}{2}\vec{p}$, получаем $\vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{n} \cdot \vec{p})$.

Образ плоскости $PAB$ при гомотетии $H_{D,k}$ задается уравнением $\vec{n} \cdot \vec{x} = (1-k)(\vec{n} \cdot \vec{d}) + k(\vec{n} \cdot \vec{p})$.

Приравнивая два выражения для плоскости $\alpha$, получаем:

$(1-k)(\vec{n} \cdot \vec{d}) + k(\vec{n} \cdot \vec{p}) = \frac{1}{2}(\vec{n} \cdot \vec{p})$

$(1-k)(\vec{n} \cdot \vec{d}) = (\frac{1}{2} - k)(\vec{n} \cdot \vec{p})$

Для правильной шестиугольной пирамиды можно показать (например, с помощью введения координат), что $\vec{n} \cdot \vec{d} = -\vec{n} \cdot \vec{p}$. Это следует из симметрии: плоскость грани $PAB$ и точка $D$ расположены симметрично относительно плоскости, проходящей через высоту $PO$ и перпендикулярной вектору $\vec{OD}$.

Подставим это соотношение в уравнение для $k$:

$(1-k)(-\vec{n} \cdot \vec{p}) = (\frac{1}{2} - k)(\vec{n} \cdot \vec{p})$

$-(1-k) = \frac{1}{2} - k$

$k - 1 = \frac{1}{2} - k$

$2k = \frac{3}{2}$

$k = \frac{3}{4}$

Итак, секущая плоскость $\alpha$ является образом плоскости грани $PAB$ при гомотетии с центром в точке $D$ и коэффициентом $k=3/4$.

Само сечение – это фигура, полученная пересечением пирамиды $PABCDEF$ и плоскости $\alpha$. Эта фигура является образом треугольника $PAB$ при гомотетии $H_{D,3/4}$. Обозначим образ треугольника $PAB$ как $P'A'B'$.

Вершины этого треугольника определяются как:

$P' = D + \frac{3}{4}(P-D) = \frac{1}{4}D + \frac{3}{4}P$

$A' = D + \frac{3}{4}(A-D) = \frac{1}{4}D + \frac{3}{4}A$

$B' = D + \frac{3}{4}(B-D) = \frac{1}{4}D + \frac{3}{4}B$

Поскольку пирамида является выпуклым телом, а точки $P, A, B, D$ принадлежат ей, то точки $P', A', B'$, лежащие на отрезках $PD, AD, BD$, также принадлежат пирамиде. Следовательно, весь треугольник $P'A'B'$ лежит внутри пирамиды.

Таким образом, искомое сечение является треугольником $P'A'B'$, который подобен треугольнику $PAB$ с коэффициентом подобия $k=3/4$.

Площадь сечения $S_{сеч}$ относится к площади грани $S$ как квадрат коэффициента подобия:

$S_{сеч} = k^2 \cdot S = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot S = \frac{9}{16}S$

Ответ: $\frac{9}{16}S$