Номер 785, страница 191 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

785. Докажите, что центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра.

Для доказательства рассмотрим свойства правильного додекаэдра и построим на их основе новый многогранник. Правильный додекаэдр — это выпуклый многогранник, у которого 12 граней, и каждая грань является правильным пятиугольником. У додекаэдра 30 ребер и 20 вершин, и в каждой вершине сходятся по 3 грани.

Пусть P — это многогранник, вершинами которого являются центры граней данного правильного додекаэдра. Нам нужно доказать, что P является правильным икосаэдром. Разделим доказательство на два этапа.

1. Определение вершин, ребер и граней нового многогранника

• Вершины: Правильный додекаэдр имеет 12 граней. По построению, мы берем центр каждой грани в качестве вершины многогранника P. Следовательно, многогранник P имеет 12 вершин. Это совпадает с числом вершин икосаэдра.
• Ребра: Ребра в многограннике P соединяют его вершины, то есть центры граней додекаэдра. Соединим ребром центры двух граней додекаэдра тогда и только тогда, если эти грани являются смежными (имеют общее ребро). Поскольку у додекаэдра 30 ребер, и каждое ребро является общим ровно для двух граней, существует ровно 30 пар смежных граней. Таким образом, многогранник P будет иметь 30 ребер, что совпадает с числом ребер икосаэдра.
• Грани: Рассмотрим любую вершину исходного додекаэдра. В каждой такой вершине сходятся 3 грани. Центры этих трех граней являются вершинами многогранника P. Так как эти три грани попарно смежны, их центры в P соединены ребрами и образуют треугольник. Поскольку у додекаэдра 20 вершин, мы получаем 20 таких треугольных граней для многогранника P. Это совпадает с числом граней икосаэдра.

Таким образом, мы установили, что многогранник P имеет 12 вершин, 30 ребер и 20 треугольных граней, что соответствует комбинаторной структуре икосаэдра.

2. Доказательство правильности многогранника P

Теперь докажем, что P является правильным многогранником. Для этого нужно показать, что все его грани — равные правильные многоугольники, и все многогранные углы при вершинах равны.

• Равенство ребер и правильность граней: Ребро многогранника P соединяет центры двух смежных граней додекаэдра. Так как додекаэдр — правильный многогранник, все его грани являются конгруэнтными правильными пятиугольниками, и все его двугранные углы (углы между смежными гранями) равны. Расстояние между центрами любых двух смежных граней одинаково в силу симметрии додекаэдра. Следовательно, все 30 ребер многогранника P имеют одинаковую длину. Поскольку грани P являются треугольниками, а все их стороны (ребра P) равны, то все грани P — это равносторонние треугольники. Так как длина стороны у них одна и та же, все 20 граней конгруэнтны.
• Равенство многогранных углов при вершинах: Рассмотрим любую вершину многогранника P. Она является центром некоторой грани F додекаэдра. Грань F — это правильный пятиугольник, и она имеет 5 смежных граней. Центры этих 5 смежных граней образуют 5 вершин P, соединенных с рассматриваемой вершиной. Таким образом, в каждой вершине P сходится 5 ребер. Эти 5 ребер образуют 5 треугольных граней, сходящихся в этой вершине. В силу симметрии додекаэдра, конфигурация граней и ребер вокруг центра любой его грани одинакова. Это означает, что многогранные углы при всех 12 вершинах многогранника P равны.

Поскольку многогранник P состоит из 20 конгруэнтных равносторонних треугольников и в каждой его вершине сходится по 5 граней, P по определению является правильным икосаэдром.

Этот процесс построения демонстрирует понятие двойственности платоновых тел. Символ Шлефли для додекаэдра — {$5, 3$} (пятиугольные грани, по 3 сходятся в вершине), а для икосаэдра — {$3, 5$} (треугольные грани, по 5 сходятся в вершине). Переход к двойственному многограннику меняет эти числа местами, что и было продемонстрировано.

Ответ: Утверждение доказано.