Номер 787, страница 191 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

787. В правильном треугольнике ABC сторона равна а. Отрезок AS длины а перпендикулярен к плоскости ABC. Найдите расстояние и угол между прямыми AB и SC.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть точка A будет началом координат (0, 0, 0). Так как отрезок AS перпендикулярен плоскости ABC, направим ось Oz вдоль отрезка AS. Направим ось Ox вдоль отрезка AB. Тогда ось Oy будет лежать в плоскости ABC и будет перпендикулярна оси Ox.

Координаты вершин будут следующими:

• A = (0, 0, 0)
• Так как длина AS равна a и S лежит на оси Oz, то S = (0, 0, a).
• Так как длина AB равна a и B лежит на оси Ox, то B = (a, 0, 0).
• Точка C лежит в плоскости z=0. В правильном треугольнике ABC высота, опущенная из вершины C на сторону AB, равна $a \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Проекция точки C на ось Ox будет в середине отрезка AB, то есть в точке с координатой $x = \frac{a}{2}$. Следовательно, координаты точки C = $(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Нахождение расстояния между прямыми AB и SC

Прямые AB и SC являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными точкой и направляющим вектором ($M_1$, $\vec{d_1}$) и ($M_2$, $\vec{d_2}$), можно найти по формуле:

$\rho(AB, SC) = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})|}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|}$

Для прямой AB возьмем точку A(0, 0, 0) и направляющий вектор $\vec{d_1} = \vec{AB} = (a-0, 0-0, 0-0) = (a, 0, 0)$.

Для прямой SC возьмем точку S(0, 0, a) и направляющий вектор $\vec{d_2} = \vec{SC} = (\frac{a}{2}-0, \frac{a\sqrt{3}}{2}-0, 0-a) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, -a)$.

Вектор $\vec{M_1M_2}$ в нашем случае это $\vec{AS} = (0, 0, a)$.

Найдем векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & 0 \\ \frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & -a \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-a) - 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}) - \vec{j}(a \cdot (-a) - 0 \cdot \frac{a}{2}) + \vec{k}(a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{a}{2}) = 0\vec{i} + a^2\vec{j} + \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\vec{k} = (0, a^2, \frac{a^2\sqrt{3}}{2})$

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{0^2 + (a^2)^2 + (\frac{a^2\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{a^4 + \frac{3a^4}{4}} = \sqrt{\frac{7a^4}{4}} = \frac{a^2\sqrt{7}}{2}$

Теперь найдем смешанное произведение (числитель формулы):

$|\vec{AS} \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})| = |(0, 0, a) \cdot (0, a^2, \frac{a^2\sqrt{3}}{2})| = |0 \cdot 0 + 0 \cdot a^2 + a \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}| = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

Вычисляем расстояние:

$\rho(AB, SC) = \frac{\frac{a^3\sqrt{3}}{2}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{a\sqrt{21}}{7}$

Ответ: расстояние между прямыми AB и SC равно $\frac{a\sqrt{21}}{7}$.

Нахождение угла между прямыми AB и SC

Угол $\varphi$ между скрещивающимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Косинус этого угла можно найти по формуле:

$\cos \varphi = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| \cdot |\vec{d_2}|}$

Направляющие векторы у нас уже есть: $\vec{d_1} = (a, 0, 0)$ и $\vec{d_2} = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, -a)$.

Найдем их скалярное произведение:

$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = a \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot (-a) = \frac{a^2}{2}$

Найдем модули векторов:

$|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a$

$|\vec{d_2}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos \varphi = \frac{|\frac{a^2}{2}|}{a \cdot a\sqrt{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Следовательно, угол $\varphi$ равен $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{4})$.

Ответ: угол между прямыми AB и SC равен $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{4})$.